还剩12页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第四节占典概型与几何概型I回顾教材•必备知识I自主AUS镒化日愚燹L基础梳理.基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的.2任何事件除不可能事件都可以表示成基本事件的和..古典概型1定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.
①试验中所有可能出现的基本事件只有有理个.
②每个基本事件出现的可能性祖笠.笆八中-A包含的基本事件的个数⑵”算公式尸⑷一基本事件的总数3如果一次试验中可能出现的结果有〃个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是5;如果某个事件A包括的结果有〃卜个,那么事件A的概率PA=T..几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型..几何概型的特点1无限性试验中所有可能出现的结果基本事件有无限多个.2等可能性试验结果在每一个区域内均匀分布..几何概型的概率公式构成事件A的区域长度面积或体积一试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积-拓展总结
1.一个概念一测度几何概型的概率公式中的“测度即构成事件的区域”只与大小有关,而与形状和位置无关.
2.两种方法判断几何概型几何度量形式的两种方法1当题干是双重变量问题,一般与面积有关系.2当题干是单变量问题,要看变量可以等可能到达的区域若变量在线段上移动,则几何度量是长度;若变量在平面区域空间区域内移动,则几何度量是面积体积,即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能变化的区域.答案A(2020・高考全国卷I)设为正方形ABCD的中心,在O4BC中任取3点,则取到的3点共线的概率为()A.1B.|C.|D.§解析从OABC这5个点中任取3点,取法有{O4B}{OAC}{OA}{OBC}{0B}{,C}{ABC}{ABD}t{ACD}{BC}共10种,其中1取到的3点共线的只有{,AC){OBQ}这2种取法,所以所求概率为布.答案A(2020・高考全国卷II)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某口积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为
0.
05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当口订单的配货的概率不小于
0.95则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名解析由题意,第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于
0.95即第二天确保完成新订单1600份,减去超市每天能完成的1200份,加上积压的500份,共有1600—1200+500=900(份),至少需要志愿者900:50=18(名).答案B51素养升华」随机模拟
1.(2020•安徽合肥模拟)下图是一个正六边形及其内切圆,现采取随机模拟的方法估计圆周率式的值.随机撒一把豆子,若落在正六边形内的豆子个数为M落在正六边形内切圆内的豆子个数为M则估计圆周率:n的值为()解析设正六边膨的边长为1则其内切圆的半径为坐,依题意得7=-=—,解得n=2事”.6X半XI答案D
2.在区间[01]上随机抽取2〃个数汨,必…,xtyi,”,…,y”,构成〃个数对(即,yi)(刈,”),…,(4,为),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率n的近似值为()ATB.四mm-、2mC.—D.一nn解析由题意得,(为,2…,〃)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影区域(不包含边界)中,即以1为半径的;圆中.n4;>;由几何概型概率计算公式知了=—所以n=¥答案CL四基自测.(基本方法与数字有关的古典概型)一个盒子里装有标号为1,234的4张卡片,随机地抽取2张,则取M的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是()A1B[2:B.]a.43C.5D.$答案D.(基本方法区间长度型的几何概型)在区间[—23]上随机选取一个数X则XW1的概率为()A.gB.IJJC.ID.!JJ答案B.(基本应用与所取元素有关的古典概型)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为()A.gB.2「2n3C,3D4答案A.(基本能力与分配有关的古典^型)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动,则甲被选中的概率为2答案.(基本能力面积型的几何概型)求在半径为广的圆内随机撒一粒黄豆形内的概率为答案十[典例剖析][典例11
(1)(列举法)两名同学分3本不同的书,则其中一人没有分到书,另一人分得3本书的概率为D.解析设3本不同的书分别为abc两名同学分3本不同的书,基本事件有0314,2\b2lo22IJ2b21c30共8个其中一人没有分到书,另一人分到3本书的基2I本事件有2个,J一人没有分到书,另一人分得3本书的概率P=g.2列举法某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录域中的数.设两次记录的数分别为xF奖励规则如下:若冷,<3则奖励玩具一个;若孙28则奖励水杯一个;其余情一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
①求小亮获得玩具的概率;
②清比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解析
①基本事件总数为
16.记“孙W3”为事件A则事件A包含的基本事件共5个,即1112132131・・・pa=4即小亮获得玩具的概率为亮•
②记“孙28”为事件从“3令尸8”为事件C则事件5包含的基本事件共6个即243334424344事件包含的基本事件共5个,即142223324I.\PC=-^..•3〉二816,,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.[典例2]1排列、组合法2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为A-2B-3C.D.1解析基本事件总数为C;C;=9他们选课相同的事件总数为C;C;=3・••他们选课相同的概率P3=19~3答案B2排列、组合法某商场进行购物摸奖活动,规则是在一个封闭的纸箱中装有标号分别为I2345的五个小球,每次摸奖需要同时取出两个球,每位顾客最多有两次摸奖机会,并规定若第•次取出的两球号码连号,则中奖,摸奖结束;若第一次未中奖,则将这两个小球放回后进行第二次摸球,若与第一次取出的两个小球号码相同,则中奖.按照这样的规则摸奖,中奖的概率为n19B25n41D-Too解析分为两个互斥事件记”第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A4与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B则由题意得PA=^
23.2323方,则每位顾客摸球中奖的概.率为PA+PB=\4-777=
777.答案C方法总结.基本事件个数的确定方法I列举法此法适合于基本事件个数较少的古典概型.2列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试睑,也可看成坐标法.3树状图法树状图是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.4运用排列组合知识计算..古典概型的概率求解步骤1求出所有基本事件的个数机2求出事件4包含的所有基本事件的个数机3代入公式PA=宁求解.[对点训练]
1.2020•广东深圳模拟一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为xyz当且仅当,z时,称这样的数为“凸数”如243现从集合{1234}中取出三个不相同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为C1…J612解析根据题意,要得到一个三位“凸数”,在{1234}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数,由I23组成的三位数有123132213231312321共6个;由124组成的三位数有124142214241412421共6个;由134组成的三位数有134143314341413431共6个;由234组成的三位数有234243324342423432共6个.所以共有6+6+6+6=24个三位数.当)=4时,有241142341143342243共6个“凸数”;当y=3时,有132231共2XI01个“凸数”.故这个三位数为“凸数”的概率=-.答案B
2.空气质量指数(AirQualityIndex简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级0〜50为优51〜100为良;101〜150为轻度污染;151〜20()为中度污染;201〜300为重度污染;>300为严重污染.一环保人士记录了某地2019年某月10天的AQI的茎叶图如图所示.(I)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQIW100)的天数;(按这个月总共有30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQA100)的这些天中,随机地抽取两天深入分析各种污染指标,求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.解析
(1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1空气质量良的天数为3故该样本中空气422质量优良的频率为正=5估计该月空气质量优良的概率为吊从而估计该月空气质量优良的天数为30x1=
12.
(2)该样本中为轻度污染的共4大,分别记为0672的,〃4为中度污染的共1天,记为从为重度污染的共1天,记为C.从中随机抽取两天的所有可能结果有
(02)
(16),
(04)31b)(671C)
(423)(2四),(2〃),(2C)(〃34)(3b)(43C)(出,力),(44C)(〃,C)共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有31b)(0C)(«2份,(2C)53协(43C)Q8),QcSc共9个93所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为正=;.►►多维探究[典例剖析]类型I与长度有关的几何概型[例1]1某公司的班车在700800830发车,小明在750至830之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是.解析如图所示,画出时间轴7:307:407:508:008:108:208:30小明到达的时间会随机地落在图中线段A8上,而当他的到达时间落在线段AC或8上时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率=2-答案I22021・吉林长春模拟已知线段AC=16cm先截取AB=4cm作为长方体的高,再将线段8c任意分成两段作为长方体的长和宽,则长方体的体积超过128cm3的概率为.解析设长方体的长为x宽为12—x由4x12-x128得f-12x+
320.\4x8即在线段8C内,截取点,8-4I满足8£48其概率为一声=§.答案类型2与面积有关的几何概型[例2]12020河北唐山模拟割补法在我国古代数学着作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现,如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.在△ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为a~2D.解析根据题意可得标记盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为;.答案A2在区间01上任取两个数,则两个数之和小于5的概率是A12n16A-25B-25-17r18C-25D-25解析设这两个数是xy则试脸所有的基本事件构成的区域即确定的平面区域,满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即@217=25,数之和小于、的概率是暴.J4J答案c类型3与体积有关的几何概型[例3]12021•河北唐山模拟已知正三棱锥S-4BC的底面边长为4高为3在正三棱锥内任取一点P,使得VP.abc^Vsfbc的概率是C.2D.不3解析当点尸到底面ABC的距离小于£时,Vp-abc2^s-abc.由几何概型知,所求概率为P=l—Q=
1.答案A22020・湖南长沙模拟在棱长为2的正方体ABCD-A^iCiDi中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABC7/用iG内随机取一点P则点P到点O的距离大于1的概率为.
67.5°90°答案:方法总结.与长度有关和与角度有关的几何概型4的长度1设线段是线段心的一部分,向线段L上任投一点,点落在线段a上的概率的;段.2当涉及射线的转动,如扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为度量区域来计算概率.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域长度或角度..与面积、体积有关的几何概型1与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积.必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.2与体积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积总空间以及事件的体积事件空间,对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解.[题组突破]
1.某单位试行上班刷卡制度,规定每天830上班,有15分钟的有效刷卡时间即815〜830一名职工在750到830之间到达单位且到达单位的时刻是随机的,则他到达单位时间为有效刷卡时间D.解析该职工在7:50至I8:30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的,设其构成的区域为线段人且4B=40职工的有效刷卡时间是8:15到8:30之间,设其构成的区域为线段CB且CB=15如图所示,所以该职工到达单位时间为有效刷卡时间的概率〃=亦
4.q•b.7:508:008:108:158:208:30答案D
2.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是解析设通电x秒后第一串彩灯闪亮,通电),秒后第二串彩灯闪亮.依0WxW4(XyW
4.*.5=4X4=
16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒,即|x-),|W2由图可知,符=16-1X2X2-|X2X2=1217,由几何概型的概率公式得P=、-=—3Io3套索・-u尔・4I回味经典•核心素养A再研高考—,选择合理方法询窣
1.(2019・高考全国卷I)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每二二一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是三三一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A5CIIA•讳B-32C红J32解析在所有重卦中随机取一重卦,其基本事件总数〃=26=64恰有3个阳爻的基本事件数为C=2()520所以在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的概率夕=石=
77.455275410341178199。