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第4节正弦定理与余弦定理及其应用课时作业灵活》强方数提能CH选题明细表A级基础巩固练
1.（2021•安徽安庆模拟）若4ABC的内角ABC所对的边分别为abc已知bsin2A=asinB且c=2b则f等于（D）b34A.-B.-23C.V2D.V3解析由bsin2A=asinB得2sinBsinAcosA=sinAsinB得cosA=.2又c=2b由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2•-=3b22得失值.故选D.（2021•河北唐山模拟）在AABC中，内角ABC的对边分别为abca=2b=3c=4设AB边上的高为h则h等于（D）A同DVH「3V15n3715IXIAIIII1I—sin20+120°+4=--[V3sin20+120°+cos20+120°]+争一与sin2333339+150°0°9120°.当且仅当29+150°=270°即0=60时AP取得最大值12即AP取得最大值2V
3.所以设计NAMN=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.解析由余弦定理，得cosA=b；；a=；+6=贝|JsinA=2bc2x3x4248Vl-cos2A=ll~—=叵=叵贝（Jh=ACsinA=bsinA=3X巫二”.故选D.\64\
64888.（多选题）在AABC中，内角ABC所对的边分别为abc若a=lb=V^A=30°则B等于（BC）A.30°B.45°C.135°D.150°解析:根据正弦定理号二-勺得sinB二竺史上孕母由于g反〉1二a所以B=45°sin4smBa12或135°.故选BC..（2019・全国I卷）ZiABC的内角ABC的对边分别为abc已知asinA-bsinB=4csinCcosA二-工，贝心等于（A）4cA.6B.5C.4D.3解析因为asinA-bsinB=4csinC所以由正弦定理得a-bJ4c；即a2=4c2+b
2.由余弦定理得cosA上守产+c2y+叽当二q所以也
6.故选A.2bc2bc2bc4c
5.（多选题）某人向正东走了xkm后向右转了150°然后沿新方向走3km结果离出发点恰好km那么x的值是（AB）A.V3B.2V3C.3D.6解析如图，AB=xBC=3AC=V3NABC=30°.由余弦定理得3=x2+9-2X3•xcos30°.解得x=2仃或x=V
3.故选AB.
6.（多选题）对于AABC有如下判断，其中正确的是（ABD）A.若cosA=cosB则AABC为等腰三角形B.若AABC为锐角三角形，有A+BA则sinAcosBC.若a=8c=10B=60°则符合条件的AABC有两个D.若sin2A+sin2Bsin2C则4ABC是钝角三角形解析:对于A若cosA二cosB则A=B所以4ABC为等腰三角形，故正确；对于B若A+B*则》A；B0所以sinAcosB故正确;乙乙乙对于C由余弦定理可得b=旧+102-2x8x10xi=V84只有一解故错误；对于D若sinA+sinTVsiAC则根据正弦定理得a2+b2c2cosC=十J（0所2ab以C为钝角，所以4ABC是钝角三角形故正确.故选ABD..在4ABC中，060，且1=2则4ABC的面积S的最大值为smA解析由060°及三二三二2可得c二四.sinCs\nA由余弦定理得3=b+a2—abNab（当且仅当a=b时，取等号），所以S」absinCC-X3X—=—2224所以4ABC的面积S的最大值为乎.4答案:包
34.（2021•陕西西安质检）在锐角AABC中，内角ABC所对的边分别为abc若cosB=—b=4Saabc=4V2则AABC的周长为.解析由cos得sinB二孚由三角形的面积公式可得上csinB二12V
2./7T-ac•—=4V2则ac=12
①由b2=a2+c2-2accosB可得16=a2+c2-2X12xi则a+c=24
②3联立
①②可得a=c=2V3所以4ABC的周长为4V3+
4.答案:4遮+
49.如图为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿河岸向前走了1200m到达M处测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度.解在4ACM中，NMCA=60-15°=45°ZAMC=180°-60°=120°，由正弦定理得Wb二』，即1F噬，解得AC=6遍（m）.在AACD中，因为tan22所以CD=600V6X—=600V2m3即电视塔CD的高度为600V2m.B级综合运用练
10.（多选题）（2021•重庆高三第三次质量调研）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75，距离12vs海里，灯塔C在A的北偏西30°距离为128海里该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东600方向.下列选项正确的有（ABD）A.AD=24CD=12ZCDA=60°或120°ZCDA=60°解析如图，在4ABD中，NB=45°由鸟篝24/AD=24A正确;sin45sin60”2在4ACD中，由余弦定理得CD=AC2+AD-2AC-ADcos30°=12V32+24-2X12V3X24X—=144所以CD=12B正确；在4ACD中，由正弦定理2得T-二.八sinNCDA=故NCDA=60°或120，因为ADAC故NCDA为sin30smZCDA2锐角，所以NCDA=60°D正确C错误.故选ABD.
11.多选题在4ABC中abc分别是内角ABC的对边C为钝角，且c-b=2bcosA则下列结论中正确的是ABDA.a2=bb+cB.A=B.A=2BC.0cosk-D.0sinB-22解析因为c-b=2bcosA所以由余弦定理得c-b=2b-因此2bccc-b=b2+c2-a2整理得a2=bb+c故A选项正确；因为c-b=2bcosA所以由正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA即sinA+B-sinB=2sinBcosA所以sinAcosB-sinBcosA=sinB所以sinA-B=sinB由于C是钝角，所以A-B=B即A=2B故B选项正确；由于A=2B且C〉90°所以0°A60°0°B30°因此lcosA10sinBi故C选项错误D选项正确.故选ABD..如图，在AABC中，已矢口点D在BC边上，ADLACsinZBAC=—AB=3a/2AD=33则BD的长为.？解析因为sinNBAC二出，且ADLAC3所以sin^+NBAD二乎所以cosNBAD二乎在4BAD中，由余弦定理，得BD=V4B2+AD2-2AB-ADcosZBAD=J3V22+32-2x3V2x3x^=V
3.答案V
5.在
①a-csinA+sinC=bsinA-sinB;
②2ccosC=acosB+bcosA;
③AABC的面积为工casinA+bsinB-csinC这三个条件中任选一个补充在2下面的问题中，并加以解答.已知AABC的内角ABC所对的边分别为abc且.⑴求C;2若D为AB的中点，且c=2CD=V3求ab的值.解1选择
①，根据正弦定理得a-ca+c=ba-b整理得a2-c2=ab-b2即a2+b2-c2=ab所以cos因为Ce0Ji所以C9选择
②根据正弦定理有sinAcosB+sinBcosA=2sinCeosC所以sinA+B=2sinCeosC即sinC=2sinCeosC.因为C£0it所以sinCWO从而有cos故乙J选择
③，1因为一easinB=-casinA+bsinB-csinC22所以asinB=asinA+bsinB-csinC即ab=a2+b2-c2由余弦定理，得COSc二二丁二黑总2ab2ab2又因为C£（0n），所以⑵在AACD中AC2=AD2+CD2-2AD•CDcos/ADC即b=l+3-2V3cosZADC.在ABCD中，BC2=BD2+CD2-2BD•CDcosZBDC即a2=l+3-2V3cosZBDC.因为NADC+NBDC二兀，所以cosZADC=-cosZBDC所以a2+b2=
8.由C』及c=2得a2+b2-4=ab所以ab=43从而a2+b2-2ab=0所以a=b=
2..AABC的内角ABC的对边分别为abc已知asin”JbsinA.2⑴求B;⑵若4ABC为锐角三角形且c=l求4ABC面积的取值范围.解
（1）由题设及正弦定理得A4-CsinAsin=sinBsinA.2因为sinAWO所以sin生吆=sinB.2由A+B+C=180°可得sinJcos22_l/.Bn.BB故cos-=2sm-cos一.222因为cos所以Sin所以B=60°.乙LA
（2）由题设及
（1）知4ABC的面积为SAABc=va-4由⑴知A+C=120°由正弦定理得csinAsin（120°C）V31a===+—.sinCsinC2tanC2由于AABC为锐角三角形，故0°A90°0°C90°.结合A+C=120°得30°C90°所以;a2从而噂〈$（；〈噌LoZ因此AABC面积的取值范围是（奈苧）.C级应用创新练.已知4ABC中AC二四BC=V6AABC的面积为噌若线段BA的延长线上存在点D使NBDC』则CD=.4解析因为AC=V2BC=V6AABC的面积为如=4c•BC•sinZACB=22ixV2XV6•sinNACB所以sinZACB=22所以NACBq或S，66若ZACB=—则ZBDC=-ZBAC64可得NBAC+NACB〉%沙冗，与三角形内角和定理矛盾，所以NACB=g466所以在aABC中，由余弦定理得AB=Vi4C2+BC2-2AC-BC•cosZACB=^2+6-2xV2xV6xy=V2所以AB=AC所以B=—6所以在ABDC中，由正弦定理可得
16.如图所示经过村庄A有两条夹角为60°的公路ABAC根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P分别在两条公路边上建两个仓库MN（异于村庄A）要求PM二PN=MN=2（单位:千米）.如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？解:设NAMN=在AAMN中MN_AMsin60°sin120°.因为MN=2所以AM二逋sin120°-
0.3在4APM中，cosZAMP=cos60°+
0.AP2=AM2+MP2-2AM-MP・cosNAMP二—sin2120°-0+4-2X2X—sin120°-0-cos60°+0=—sin20+60°333--sin0+60°•cos0+60°+4=-[l-cos20+120°]-33知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练利用正弦、余弦定理解三角形134与面积有关的解三角形问题278解三角形的实际应用591016综合61112131415。
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