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第3课时定点、定值、探索性问题考点1定点问题综合性「典例引领」例11/2020•全国卷I已知A8分别为椭圆氏的左、右顶点，G为E的上顶点，A丽=8/为直线x=6上的动点，R1与£的另一交点为C与£的另一交点为.1求椭圆£的方程；2证明直线CO过定点.1解由题设得4—0伏，Gol.则A5=〃，lGB={a-
1.由得/—1=8即〃=
3.x2所以椭圆E的方程为g+y2=].2证明设羽，y0X2竺，P0若，W0设直线CO的方程为由题意可知一3”
3.由于直线PA的方程为y=/x+3所以Ji—^xi+
3.直线PB的方程为尸如一3所以丁2=*12-
3.可得3yl及―3=”3+
3.由于1+货=1可得27yly2=—»+3x2+3即27+〃22]2+根〃+3ji+2+〃+32=
0.
①将代入@+y2=l得m2+9y2++序—9=
0.代入
①式得27+m2/i2—9—2mn+3mn+n+32m2+9=
0.3解得〃i=—3舍去，112=
7.3若，=0则直线CQ的方程为y=0过点50综上，直线CO过定点修
0.解题通法直线过定点问题的解题模型求直线一利用题设条件，求直线系方程联立直线与圆锥曲线，利用根与系数的关系，求出定点的坐标判断定点的坐标满足所求的直线系方程，即可证出直线经过该定点「多维训练」2020・石嘴山市第三中学高三模拟已知/是抛物线C y2=2〃xp0的焦点点A1xo4在抛物线上，且|MF|=|xo.1求抛物线C的标准方程；2若AB是抛物线上的两个动点，且0A_L08为坐标原点，求证:直线AB过定点.1解由题意得，\MF\=xo~\~2=4^°解得xo=2p.因为点〃扰4在抛物线C上，所以42=2Px=4P2解得p2=
4.又p〉0所以p=2即抛物线C的标准方程为y2=4x.2证明设AxiyBX29yi.因为OALOB所以丸・访=0即汨及+丁
1、2=.因为点A3在抛物线上，所以4=4用，货=4x2代入得雷+62=因为”B0所以yi2=-
16.设直线AB的方程为x=my+nfx=my+/2联立则y\yi=-4〃，所以〃=4所以直线的方程为1=殴+4过定点
40.考点2定值问题综合性「典例引领」例―
2020.新高考全国卷I汨知椭圆C13*0的离心率为坐且过点A2l.1求椭圆的方程.2点N在上，KAMLANADLMN为垂足.证明存在定点使得DQ为定值.41CT一房11解由题意得u+/=i心=-^2-=]解得〃2=6从=
3.92所以椭圆C的方程为3+9=
1.o32证明:设MxiyiNgyi.22若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+m9代入宗+=1得1+2F%2+4初优+2加2—6=0工日।4km2m2—6于7txi+X2=一1不而，X1X2=]+2后.
①由AMJ_AN知巍•病=0故即一2及一2+01-12—1=0可得M+lx\X2~\~km—k—2xi+12+根—12+4=
0.2/7Z2—6447%将
①代入上式可得S+1]+2一协7一攵-2・]+2M+3一12+4=.整理得2攵+3m+12攵+加-1=
0.因为A21不在直线MN上，所以2攵+加一1W0故2氏+3加+1=0kWl.于是MN的方程为gZWl.2n所以直线MN过点pg—若直线MN与x轴垂直，可得Nx\—yi.由AM-AN=0得⑶-2xi-2+31一1一6-1=
0.又得+£=1可得3才-8x1+4=
0.2解得M=2舍去或xi=t.21A此时直线MN过点、Rj—4n令Q为AP的中点，即Q|j若与P不重合，则由题设知AP是Rt^AOP的斜边解题通法解答圆锥曲线定值问题的技法⑴从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关;⑵引进变量法其解题流程为1^1选择适当的动点坐标或动直线中系数为亘一变量——1把要证明为定值的量表示成上述变量的我一函数定值把得到的函数化简，消去变量得到定值「多维训练」2020•太原五中高三月考已知椭圆的对称中心为原点0焦点在工轴上，焦距为2%，点21在该椭圆上.1求椭圆C的方程.2直线X=2与椭圆交于P两点，点尸位于第一象限，A3是椭圆上位于直线i=2两侧的动点.当点AB运动时，满足NAPQ=N3PQ直线A3的斜率是否为定值，请说明理由.因为焦距为2班，所以c=焦点K观，0F2-V
60.4141又因为点21在该椭圆上，代入椭圆方程得方+京=1即方+工^=1解得层=8或/=3舍，所以Z2=292所以椭圆的方程为豆+9=
1.OZ4F2将x=2代入椭圆方程得《十片=1oZ解得y=±l则尸2102-
1.因为当点AB运动时，满足/APQ=/BPQ所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数.不妨设kpA=k0则kpB=-kk*04为，y3X
2、2所以直线PA的方程为y-1=kx-
2.y-i=kx-2联立x2J+2=1得1+4后%2+8左一16Fx+16大2一16k—4=
0.因为2X］是该方程的两根，“16后一16%—4所以2为=-甲三一即直线A3的斜率为定值.考点3探索性问题——综合性「典例引领」%2例❸”
2020.绵阳四诊已知椭圆Cy+j2=L直线/y=x+〃2交椭圆于AA3两点，O为坐标原点.1若直线/过椭圆的右焦点凡求aAOB的面积.2若而=/痈》0试问椭圆C上是否存在点P使得四边形OAPM为平行四边形？若存在，求出/的取值范围；若不存在，请说明理由.解1设AX1y3X2J
2.直线/过椭圆的右焦点居则〃2=—1直线/的方程为X=y+
1.[x2+2y2=2联立彳得3y2+2—1=0Lx=y+1解得”=—L1112所以k408=引0「加一”|=2乂1§——1=-.[%2+2y2=22联立J得Bf+dm+Zm2—2=0所以/=4m2-122m2-20解得0W加
23.4m2m2—2所以X1十X2=-三X\X2=-加2—2所以6”=3+团2+加=即％2+m8+%2+机2=k.因为四边形0ApM为平行四边形，所以根W0且由=万1+血.又而=，协行0所以OP=OA+，QB=xi+比2yi+tX2所以点P的坐标为X1+/X2丁1+
2.又点P在椭圆上，即川+及22+2什1+少22=2整理得才+2y+»姥+2比+2tx\xi+41/=
2.又才+2彳=26+2兄=2即x\xi+2y\y2=t解得t=因为r00m23所以0%W
2.综上所述，方的取值范围是02].解题通法解决存在性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论.若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.1当条件和结论不唯一时，要分类讨论.2当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.3当条件和结论都未知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外的途径.「多维训练」2020•衡水中学高三月考已知椭圆C，+，=1》＞0的离心率为坐，直线/x—y+2=0与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.1求椭圆C的方程.2是否存在直线与椭圆交于A8两点，交y轴于点M0m使|万1十2痈|=|/一2宿成立？若存在，求出实数机的取值范围；若不存在，请说明理由.%2=庐+/解⑴由已知得也，解方程组得4=2啦，b=®c=册，所£=立279以椭圆的方程为不+3=
1.oZ⑵假设存在这样的直线.由已知条件，可知直线的斜率存在.设直线方程为y=kx+my=kx-\-m9由“x2y2得4F+Df+Sbnx+d/—8=0针2=1，J=168^-m2+20*.设AxiyBg”/%2—8F+%2+”=玄行・^\OA+2OB\=\OA-2OB\得醇，份，即醇协=0即xi%2+yiy2=
0.QQ故83=5帆2—8三0得苏三§.将8^2=5m2—8代入*式，解得〃於力的〜2710所以〃2＞节~或〃＜一节~.所以实数机的取值范围是一8u2^1^+
8.。
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