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第九章第四节随机事件的独立性基础夯实练
1.若事件45发生的概率都大于零，则A.如果A3是互斥事件，那么A与否也是互斥事件B.如果A3不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件C.如果4B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件D.如果A+8是必然事件，那么它们一定是对立事件解析选C当事件48的关系如图1所示时，A与B互斥，但A与互不互斥A错误；A与B不相互独立时也未必是互斥事件，B错误；如果A与8相互独立，则PA5=PA.P8依题意得PA.P30因此尸ABWO事件A与事件3一定能同时发生，故不是互斥事件，C正确；当事件A8的关系如图2所示时，A+3是必然事件，但A8不是对立事件，D错误.故选C..一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球，3个黄球，从中有放回地摸球，用4表示第一次摸得黄球，4表示第二次摸得白球，则事件4与4A.是相互独立事件B.不是相互独立事件C.是互斥事件D.是对立事件解析选A由于采用有放回地摸球，因此4与4相互独立，于是事件4与4是相互独立事件故选A..若事件E与歹相互独立，且PE=PF=则硒等于.eqB表C.eqD.eq解析选B由题得PEF=PE.PF=±X=气.
4.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为今若两人同时参加测试，则有且只有一人能通过的概率是A.eqB.eqB.C.eqD.1解析选C设A表示“甲通过听力测试”，8表示“乙通过听力测试”.根据题意知，事件A和311———相互独立，且P4=5P8=q.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C则=45口48且和AB互斥.故PC=PABUAB=PA5+0A3=PA0B+PAPB.（2021・新高考全国卷I）有6个相同的球，分别标有数字123456从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立解析选B由题意知，两点数和为8的所有可能为
（26）
（35）
（44）
（53）
（62）两点数和为7的所有可能为
（16）
（25）
（34）
（43）
（52）
（61）尸（甲）=看尸（乙）=/尸（丙）=念=焉尸（丁）==
9.尸（甲丙）=0WP（甲）P（丙）故A项错误；P（甲丁）=卜/=表=（甲）P（丁），故B项正确；P（乙丙）=/义/=表WP（乙）P（丙），故C项错误；尸（丙丁）=0（丙）尸（丁），故D项错误.故选B..笔筒中放有2支黑色签字笔和1支红色签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次取出的都是黑色签字笔的概率为.22解析第一次取出的为黑色签字笔的概率为余第二次取出的为黑色签字笔的概率为余所以两次取出224的都是黑色签字笔的概率为J4答案g.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为
0.
860.5只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为.解析由题意可知该选手只闯过前两关，则第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P=
0.8X
0.6X（l-
0.5）=
0.24故该选手只闯过前两关的概率为
0.
24.答案
0.
24.单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为亲和《，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）.解析因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为亲和一，所以这两辆车在一年内不发生此种1Q201Q2019事故的概率分别为今和转，故两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为宏义转=煽根据对立事件的概率192公式，可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为一兴=袅乙JL乙JL2答案7TL
1.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员AB进行围棋比赛，甲对A、乙对
8、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜
3、丙胜C的概率分别为
0.6505假设各盘比赛结果相互独立求1红队中有且只有一名队员获胜的概率；2红队中至少有两名队员获胜的概率.解记“甲胜A”为事件“乙胜5”为事件区“丙胜C”为事件忆则万，ER分别表示甲不胜A、乙不胜
8、丙不胜的事件.因为尸=
0.6PE=
0.5PF=
0.5由对立事件的概率公式，知P方=04P万=
0.5PR=051红队中有且只有一名队员获胜的事件有DAEnF5nEAF以上3个事件彼此互斥且独立.所以红队中有且只有一名队员获胜的概率为PDEF+PDEF+PDEF=
0.6X05X
0.5+
0.4X
0.5X
0.5+
0.4X
0.5X
0.5=
0.
35.2法一红队中至少有两名队员获胜的事件有DHEHFDAEOF5AEOFOGEAF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队中至少有两人获胜的概率为尸£下+「豆可+P5£F+^^=
0.6X
0.5X
0.5+
0.6X
0.5X
0.5+
0.4X
0.5X
0.5+
0.6X
0.5X
0.5=
0.
55.法二“红队中至少有两人获胜”与“红队中最多有一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件DAEAF且P万万万=
0.
40.5*
0.5=
0.
1.所以红队中至少有两人获胜的概率为1—P三云一P万EF-PDEF-PDEF=l-
0.35-0A=
0.
55..2021•广东四校联考某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是本甲、丙两个家庭都回答错误的概率是2乙、丙两个家庭都回答正确的概率是!若各家庭回答是否正确互不影响.JL1—I1求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；2求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.解1记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事3件ABC则PA=木pTpc=77，且有1pb・pc=4ri[1-pa]-[1-pc]=t5，l乙即1PBPC=432所以P8=gPC=
1.2有0个家庭回答正确的概率为一一一一一一1515Po=PABC=P4・PB・PC=4XgX^=^有1个家庭回答正确的概率为OC11Q11C27Pi=PABC+ABC+ABC=7X-X-+tX-tX-+7X-X-=—所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为5721P=1-0―砺-才亚综合提升练.科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲3每次通过科目二的概率均为本且每次考试相互独立，则甲第三次考试才通过科目二的概率为A.eqB.eqB.C.eqD.eqD.3解析选D甲每次通过科目二的概率均为不且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为—fX—DG磊.故选D..一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0〜9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为A.eqB.eqB.C.eqD.eqD.解析选C一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0〜9中任选一个，某人在银行自1Q动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为百+%*3=三•故选C・yJ
13.出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是:，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为A.eqB.eqB.C.eqD.eqD.解析选B因为这位司机在第
一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独04/7112立的，且遇到红灯的概率都是？所以未遇到红灯的概率都是1—彳=彳，所以遇到红灯前已经通过了两个交2214通岗的概率为qXqx/二方.JJJL/
14.某学校10位同学组成的志愿者组织由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织的4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立随机地发给4位同学，且所发信息都能被收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为.解析记“甲同学收到李老师的信息”为事件A“甲同学收到张老师的信息”为事件A由题意知事42件A5相互独立，P*=PB=m=不则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为1———3316PA5=1—[1—PAH1—P8]=l一正答案苴
15.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元不足1小时的部分按1小时计算，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为]两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为今两人租车时间都不会超过四小时.甲、乙两人所付的4~I租车费用相同的概率为.解析由题意知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为由[.设“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A则尸4=93+我+*焉答案
3.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为小计算在这一时间段内.1恰有一套设备能正常工作的概率；2能进行通讯的概率.解记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A“第二套通讯设备能正常工作”为事件A由题意知PA=p3PB=p3PA=1—p3尸5=1—p
3.1恰有一套设备能正常工作的概率为PAB+AB=PAB~\~PAB=p31—6+1—p3〃3=2P3—2〃62两套设备都不能正常工作的概率为PAB=PA・PB=l—p32至少有一套设备能正常工作的概率即能进行通讯的概率为1—尸彳石=1-PW・P豆=1一1—p32=2〃3—p
6.创新应用练.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为
0.6客场取胜的概率为
0.5且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是.解析法一因为甲队以41获胜，所以第五场甲胜，而前四场甲需要胜三场输一场，则甲队的胜负情况可分为“胜胜胜负胜”“胜胜负胜胜”“胜负胜胜胜”“负胜胜胜胜”这4种.设事件A为“甲队以41获胜”，A•表示第，场甲队获胜.又前五场的主客场安排为“主主客客主”，所以p4=pA2=P4=
0.6PA3=PA4=
0.5则尸4=尸444元4+5也而A曲+尸4/774A〃5+P而A2A3人45=
0.6X
0.6X
0.5X
0.5X
0.6+
0.6X
0.6X
0.5X
0.5X
0.6+
0.6X
0.4X
0.5X
0.5X
0.6+
0.4X
0.6X
0.5X
0.5X
0.6=
0.
18.法二甲队在前四场中有一场客场输，且第五场胜时，以41获胜的概率是
0.
630.5X.5X2=.108；甲队在前四场中有一场主场输，且第五场胜时，以41获胜的概率是O.4XO.62xO.52X2=O.O
72.综上所述，甲队以41获胜的概率P=
0.108+
0.072=
0.
18.答案
0.
18.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为.
6050.
50.4各人是否需使用设备相互独立.1同一工作日至少3人需使用设备的概率为；2实验室计划购买攵台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于右的概率小于
0.1则k的最小值为.解析记A•表示事件同一工作日，乙、丙中恰有，人需使用设备，i=0』
2.3表示事件甲需使用设备，表示事件丁需使用设备，表示事件同一工作日至少3人需使用设备，E表示事件同一工作日4人需使用设备，尸表示事件同一工作日需使用设备的人数大于左iz=Ainbnqua2n5ua2nbnq尸3=06PQ=
0.4PAO=1-
0.51-
0.5=
0.25PAi=2X
0.5X1-
0.5=
0.5PA2=
0.5X
0.5=
0.25所以PD=PA]BC-\-A2B-\-A2BC=PAiBC+PAB+PA2BQ=PA]PBPC+PA2PB+PA2PBPC=
0.
31.2由⑴知若k=2则尸加=
0.
310.L因为E=sncnA2所以PE=PBCA2=PBPQP/12=
0.
06.若攵=3贝IP尸=
0.
060.L故攵的最小值为
3.答案:
10.3123。
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