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课时作业23正弦定理和余弦定理[基础达标]
一、选择题
1.[2021•河北省级示范性高中联合体联考]△ABC的内角4BC的对边分别为abc若3sinA=2sinCb=5cosC=—贝Uq=3B.46D.8[2021•山东青岛一中月考]在△ABC中若sirA+si/Bvsi/C则△A5C的形状是
3.[2021•广东省七校联合体高三联考试题]在△ABC中,内角ABC的对边分别为mbc已知=小+1b=2A=5则8=3兀e兀ATB-6〃兀c兀_p.3兀寸苗或彳.[2021•广东深圳高级中学月考]在△ABC中,abc分别是角AB的对边,已rb=lAABC的面积为号则祈菽的值为A.小B.2C.4D.
1.[2021•山西省六校高三阶段性测试]在△ABC中,角ABC的对边分别是bcosA=c~^a9点在AC上,2AD=DCBD=2则5c的面积的最大值为
二、填空题.[2021・陕西咸阳一中月考]在△A3C中,内角ABC所对的边分别为小ha=5b=2A=则△ABC的面积为..[2021•惠州市高三调研考试试题]ZSABC的内角ABC的对边分别为mb知小acosC—ccosA=4S=60°则角A的大小为..[202山东卷]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心,4是圆弧与直线AG的切点,5是圆弧A3与直线35c的切点,四边形E/G为矩形,BCLDG垂足为CtanNOOC=\BH//DGEF=12cmZE=2cmA到直线石和Eb的距离均为7cm圆孔半径为1cm则图中阴影部分的面积为
三、解答题
9.[2020・山东卷]在
①双=小,
②csinA=3
③=小力这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题是否存在△A8C它的内角ABC的对边分别为mbc且sinA=4§sin8C~69注如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.10J2020•全国卷II17]A48C中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.⑴求42若8C=3求△ABC周长的最大值.[能力挑战]
11.[2021・洛阳市尖子生联考]已知”,bc分别是5c的内角AB的对边,且满足〃+b+csinB+sinC—sinA=bsinC.1求角A的大小;2设=/,S为△A3C的面积,求S+,5cos3cosC的最大值.课时作业
23.解析因为3sinA=2sinC由正弦定理得3a=2c设q=2ZQ0则c=3%人口、、日cr+kr—c125-591由余弦定理仔cosC=—双一=20k=—不解得左=3或攵=一去舍去,从而=
6.故选C.答案cq2+—.解析Vsin2A+sin2Bsin2C/.tz2+Z2c2/.cosC=0又0°vC180°・・・C为钝角,•••△ABC是钝角三角形,故选C.答案C
3.解析Vc=\/3+1b=2A=・••由余弦定理可得a=y]b2+c2-2bccosA=71•;b〈a・・・3为锐角,・・・3=a.故选C.答案C.解析•••sin2A+1=;••*=又b=l3BC的面积为茨sinA=坐,解得c—2/.tz2—2ZccosA—1+4—2—3;・a=小~~.A~2故选B.vsinB+sinCsmA答案BabcI.解析在△ABC中,由正弦定理示7=示■方=;八及IcosA=c一丁干得sinBcosASillziSillDSillLx乙=sinC—sinA.根据=兀一4+5得sinBcosA=sinA+B—^sinA=sinAcos3+cosAsinB—^sinAEPsinAcosB=^sinA由于sinAWO所以cosB=;B=^.解法一设AD=x则O=2xAC=3x在△AOBABDCZSA5c中分别利用余弦f+4—0242+422+2—9/定理,得cos/AO8=-T一,cosNCDB=J——,cosZABC=.由4XoXZQCcosZADB=-cosZCDB得GfuaZ+Zc—12再根据cosNA3C=;得/+/—9%2=3乙所以4c2+〃2+2=
36.根据基本不等式得4/+/24所以〃cW6当且仅当a=25c=小时,等号成立,所以△13c的面积S=%csinNA3C=乎new*.故选A.~►2-1-►►c4-►-1—►c解法二因为点在AC上,2AD=DC所以铲A+铲C||2=§|区铲+半⑶口4f-414yr412+gBA・8C=gc2+g/+g4ccosw=§c2+ga2+gac.又80=2所以4c2+q2+2qc=
36.根据基本不等式得4d+a224ag所以〃cW6当且仅当=2小,c=小时,等号成立,所以3c的面积S=:acsinNABC=^〃w¥3故选A.答案A/.sinC=sinA+5=^^/./\ABC的面积为:sinC=^^.XI乙乙^宏安.合^木1-
2.解析由小acosC—ccosA=8根据正弦定理得小sinAcosC—sinCeosA=sin以、hi即小sinA—0=勺,sinA—0=5,又A+C=180一8=120,A-120°A-C120°AA-C=30°A2A=150°A=75°.答案75°.解析如图,连接04过点A分别作AQLDEAK_LEF垂足为QK设AK与BHDG分别交于点MN作OPJLDG于点P则AQ=AK=7cm・・・ZN=7cm〈DG=EF=\2cm.NG=5cm•:NK=DE=2cm.AN=5cm,ZXANG为等腰直角三角形,・・・NGAN=45,VZ0AG=90°.Z0AM=45°设AM=0M=xcm贝IPN=xcm3「
31.DP=7-xcm9tanZ0DG=y.OP=^~xX-ym9AM-\-MN-\-NK=7cm即x33171义]2+7—尤义;+2=7解得x=2・・・O4=2吸cm,S阴影=兀2吸pX1+Q吸广乂]一]—答案4+y.解析方案一选条件
①.由C弋和余弦定理得总产=坐由sinA=y/3s\nB及正弦定理得a=^3b.于是空焉C=坐,由此可得6=心由
①ac=小解得〃=小,b=c=\.因此,选条件
①时问题中的三角形存在,此时=
1.方案二选条件
②.由=耒和余弦定理得由sinA=,5sinB及正弦定理得a=y/3b.才无2小从=2,由此可得〃=cB=C=l,A=§.o3由
②csinA=3所以c=b=2小a=
6.因此,选条件
②时问题中的三角形存在,此时=
24.方案三选条件
③.兀/人r、、F片+尻一c,2U3由C=d和余弦定理付一痂一=2・由sinA=M5sinB及正弦定理得a—y/3b.于正=2,由此可收由
③与=矛盾.因此,选条件
③时问题中的三角形不存在..解析1由正弦定理和已知条件得3c2—a02—ab2=acaa
①由余弦定理得BC2^AC2-^AB2-2ACABcosA.
②127r由
①②得cosA=—.因为04兀,所以A=下.2由正弦定理及1得得琮=出生=小,从而AC=2小sin8AB=2小sin兀一ASillDSillLxSillzi—B=3cos小sinB.故BC-\-AC-\~AB=3+V3sinB+3cos8=3+2小sinB+^.又03所以当B=时,BC周长取得最大值3+2,§.
11.解析l・:a+/+csinB+sinC—sinA=/sinC/.由正弦定理,得q+Z+cZ+c—〃=Zc即/2+c2—tz2=—he.庐+02一〃21由余弦定理,得cosA=-57—=-y乙UL乙2又A£07i9・♦A=q兀.2根据〃=小,A=全及正弦定理可得系=焉=淄]=率=2DolllDoil!Vzolllzi、
32.\Z=2sinBc=2sinC/•5=^/csinA=;X2sinBX2sinCX^=^3sinBsinC.•.S+V^cosBcosC=/sinBsinC+小cosBcosC=y[3cosB—C.B=C故当{_7T即区==5时,S+小cosBcosC取得最大值近B+C=3。