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第3节不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法国课程标准要求.梳理不等式的性质，理解不等式的性质，掌握不等式的性质..会结合一元二次函数的图像判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数了解函数的零点与方程根的关系..经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义能借助一元二次函数的图像求解一元二次不等式并能用集合表示一元二次不等式的解集..借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.必备知识•课前回顾知识梳理
1.两个实数大小比较的基本事实a-b0ababeRa-b=0a=bab£R[a~b0a匕ab£R.
2.不等式的性质及其推论A.{x|-lxl}B.{x|lx3}C.{x|-lx^O}D.{x|xN3或x〈l}⑵设函数fx二仔2rx+610则不等式fxfD的解集是U+6%0A.-31U3+8B.-31U2+8C.-11U3+8D.—-3U133多选题对于给定的实数a关于实数x的一元二次不等式ax-ax+l0的解集可能为R-1aa-1-oo-1Ua+8解析⑴不等式组•［丫:!:中不等式
①的解集为{x|-Kxl}不等式
②的1%，-3x20
②解集为{X|xWO或xN3}.因此原不等式的解集为{x|xWO或X三3}n{x|-1x1}={x|T〈xW0}.故选C.f1=1-4X1+6=3当xNO时，x2-4x+63解得x3或OWx〈l;当x0时x+63解得-3x
0.所以fxf1的解集是-31U3+
8.故选A.3对于一元二次不等式ax-ax+10则aWO当a0时，函数y=ax-ax+1的图像开口向上与x轴的交点横坐标为a-1故不等式的解集为-8-1Ua+oo；当a0时，函数y=ax-ax+1的图像开口向下若a=-l不等式的解集为0;若-不等式的解集为-1a若a-l不等式的解集为a-
1.故选BCD.国考点三一元二次不等式恒成立问题角度-一元二次不等式在R上的恒成立问题70若不等式2kx2+kx-10对一切实数x都成立则k的取值范围为8A.-30B.[-30C.[-30]D.-30]解析:当k=0时，显然成立;当kWO时，即一元二次不等式2kx2+kx--0对一切实数x都成立.8k0则[d=/c2-4x2kx-|0解得一3〈
0.综上满足不等式2kx2+kx-f0对一切实数x都成立的k的取值范围是-30].故O选D.:解题策略一元二次不等式恒成立的条件幅度二一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法第O若对任意的xe[-12]都有x2-2x+a0a为常数，则a的取值范围是解得a-
3.故选A.法二当X£[T2]时不等式X-2x+aW0恒成立等价于a^-x2+2x恒成立则由题意，得aW~x2+2xminxG[-12].而-x+2x=-xT、1则当x=T0^-x2+2xmin=-3所以aW-
3.故选A.解题策略一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法1最值转化法:若fx0在集合A中恒成立则函数y=fx在集合A中的最小值大于
0.⑵分离参数转化为函数的值域问题，即已知函数fx的值域为[mn]则fx2a恒成立fxLnNa即m^a;fxWa恒成立fxraax^a即nWa.口角度三一元二次不等式的有解问题而莉若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间14内有解则实数a的取值范围是A.-8一2B.-8一2]C.-6+°°D.-8-6解析:不等式成立等价于存在xel4使ax2-4x-2成立，即a%2-4x-2max设y=x2-4x-2=x-22-6当x£l4时y£[—6-2所以水-
2.故选A.解题策略一元二次不等式在给定区间上的有解问题常用分离参数的方法通过分离参数后利用afX在区间［叫n］上有解则后利xmin后利x在区间［mn］上有解则afxmax.对于xaWfx可类似处理［针对训练］1若存在实数xe［24］，使x2-2x+5-m0成立则m的取值范围为A.13+8B.5+8C.4+8D.-8132若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+l0的解集为R则实数a的取值范围是.⑶若对于任意的xe［02］不等式x-2ax-1W0恒成立则实数a的取值范围是.解析1idx2-2x+5设fx=x2-2x+5=x-12+4x£
[24]当x=2时，fxmin=5xe
[24]，使x2-2x+5-m0成立即mfxL所以m
5.故选B.⑵关于x的一元二次不等式ax2+2ax+l0的解集为R所以•HI/c解得所以实数a的取值范围是
01.4*-4a03由题意可知x-2ax-1W0在［02］上恒成立”.设gx=x2-2ax-l则只要gxWO在［02］上恒成立即可.则实数a的取值范围为息+
8.答案⑴B2013巳+84息备选例题CWD已知a£[T1]时不等式x2+a-4x+4-2a0恒成立则x的取值范围为A.-82U3+8B.-81u2+8C.-81U3+8D.13解析由题意，因为a£[T1]时，不等式x2+a-4x+4-2a0恒成立，可转化为关于a的函数fa=x-2a+x2-4x+4则fa0对任意11]恒成立.则满足⑴=xz-3x+20解得xG或x〉3即X的取值范围为-81U⑶+
8.故选C.CWD不等式名Wx-2的解集是x-2A.-80]U24]B.[02U[4+~C.[24D.―8o]u[4+8解析:法一
①当x-20即x2时不等式可化为x-22三4所以xN4;
②当x-20即x2时，不等式可化为x-22^4所以0Wx〈2即0Wx〈2或xN
4.故选B.2法二由白Wx-2得生了三0%一2x-2%%-2%-40x-200解得0Wx〈2或x
24.故选B.0®设abc且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根贝肛的取值范围a为A.[-20]B.[-|0]C.[-2-|]D.[-1解析因为1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根所以a+b+c=
0.因为aNbNc所以aNba》c所以3a^a+b+c=0所以a
20.由题意a=0舍去.由a+b+c=0可得b=-a-c即a^-a-c^c即广之:得严;Gi-a-ccLq2c则不等式等价为一金-a--2即:1得-2WMTQ—2综上£的取值范围为-故选c.aa2解关于x的不等式ix^+ax+lVOaGR.解因为△=a-
4.
①当△二仁.，即-2WaW2时，原不等式无解.
②当A=a2~40即a2或a-2时，方程x2+ax+l=0的两根为-a+Va2-4-a-y/a2-4XL;，X2-乙乙则原不等式的解集为r-a-y/a2-4-a+Va2-41综上所述，当-2WaW2时原不等式无解，当a2或a-2时原不等式的解集为.-a+y/a2-4^X.2■释疑不等式的性质中，含有？的作用是什么？提示:不等式的性质中含有的只能用来证明不等式而不能解不等式而含有的只能用来解不等式.
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示■释疑形如ax2+bx+c0的不等式一定是一元二次不等式吗？提示当aWO时ax2+bx+c0是一元二次不等式，当a=0时不是一元二次不等式..涉及实数的倒数有关的结论labab0--.ab2a0b--.ab3ab00cd--.cd40axb或axbO--ibxa.两个重要不等式1若ab0m0则然小”.aa+m2已知ab均为正数st均为正整数则aS+1+已乜2筮1十个为.—g对点自加三一.新教材习题改编不等式-x2-5x+6N0的解集为AA.{x|-6WxWl}B.{x|2WxW3}C.{x|x23或xW2}D.{x|xNl或xW-6}解析:不等式-x-5x+620可化为x，5x-6W0即x+6xTWO解得-6WxWl所以不等式的解集为{x|-6WxWl}.故选A..新教材习题改编下列四个命题中为真命题的是CA.若ab则ac2bc2B.若abcd则a-cb-dC.若a〉|b|则a2b2D.若ab贝壮《ab解析当c=0时A不成立;213-1而2-3l--lB不成立;a=2b=-1时D不成立；由a〉|b|知a0所以a2b2C成立.故选C..一元二次不等式ax+bx+DO的解集为{x|Tx4}则ab的值为D◊A.-5B.5C.-C.-6D.6解析由已知得-1:是一元二次方程ax2+bx+l=0的两根且a0解得｛Mt所以ab二
6.故选D..已知fx=x2+4x+l+axGRffxNO恒成立则实数a的取值范围为C.[-1+8D.[3+8解析由题意，函数fx=x2+4x+l+a令t=fx=x2+4x+l+a=x+22-3+a^a-3又由x£R又由xNO恒成立，即ftNO对任意t^a-3恒成立.当a-3W-2即al时，ft1n-2=-3三0解得a》3此时无解;当-3〉-2即al时ftmin-fa-3=a2~a~2^0解得aW-1舍去或a
22.综上可得实数a的取值范围为［2+
8.故选B..某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3000+20x-
0.lx（0x240x£N）若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是台.解析y-25x=-
0.lx-5x+3000WO所以x2+50x-3000020得xW-200（舍去）或x2150又因为0〈x〈240x£N所以150Wx〈240x£N.答案150关键能力•课堂突破国烤点一不等式的性质及其应用2021•四川高三三模已知aO〉b则下列不等式一定成立的是DA.a2b2B.abb2C.ln|-|OD.2a-blb解析:对于A由aOb知a纨b不一定成立故A错误;对于B由ab-b2=ba-b0矢口abb2故B错误;对于C取ab=-;，则In注|二In1二0C也不一定成立，故C错误；44b对于D由aba-b0知2a-b1故D正确.故选D.
2.已知实数xyz满足xMx+z-y-4且x+y2+2=0则下列关系成立的是DA.y〉xNzB.z三x〉yC.yzNxD.zNyx解析由x2=4x+z-y-4知z-y=x2-4x+4=x-22^0即z三y;由x+y2+2=0知，x=-y2+2则y-x=y2+2+y=y+-2+-0即yx.24综上所述，z，yx.故选D..已知-l〈x42y3则x-2y的取值范围是3x+4y的取值范围是.解析因为T〈x〈42〈y〈3所以-6〈-2y〈-4所以-7x-2y
0.由-l〈x42y3得-33x1284y12所以53x+4y
24.答案-
70524.已知TWx+yWllWx-yW3则3x-2y的取值范围是.解析设3x-2y=mx+y-nx-y=m-nx+m+nyL52，3x-2y=-x+y+-x-y乙乙因为TWx+yWllWx-yW3所以3x-2y=|x+y+|x-y£
[28].答案
[28]♦题后悟通.根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性质或特殊值法而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式可以利用构造函数利用函数的单调性进行判断..当两个数或式子正负未知且为多项式时用作差法作差时要注意变形技巧..已知xy的范围，求由axbyabWO通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时可利用不等式的性质直接求解..已知由axbyabWO通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围，求解形如ex土dycdWO的范围问题时要利用待定系数法将cx±dy用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出xy的范围后求cx±dy的范围，由于abcda+cb+d不是可逆的，因此容易出现错解.底用点三I一元二次不等式的解法及其应用0角度-不含参数的一元二次不等式dED不等式-34x-4x2^0的解集为{x|--x-}22{x|-々xWO或IWxW}22{x11Wx|}{x|-乂xWO或IWxT}22解析:原不等式可化为严一字:『4x-4xz
0.解4x-4x2-3得-x〈|解4x-4xW0得xWO或xNl.原不等式的解集即为上述两个不等式的解集的交集，即」〈xWO或IWxT22所以原不等式的解集为{x|-jxo或1Wx〈|}.故选D.一解题策略IaWfxWb等价于匕日受Wb.幅度二一元二次不等式与一元二次方程的关系CWH2多选题已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为-13则下列说法正确的是A.a0bx-c0的解集是{x|x|}cx2+ax-b0的解集是{x|x二或xl}D.a+bc解析不等式ax2+bx+c0的解集为-13则〕bx-c0即-2ax+3a〉0所以x-cx2+ax-b0即-3ax4ax+2a0即3x2-x-20解集是{x|x-|或X1}k-ZX=T属于{xIX-|或xl}所以c-a-b0即a+bc.故选BCD.解题策略.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值..给出一元二次不等式的解集相当于知道了相应二次函数图像的开口方向及与x轴的交点可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.幄度三含参数的一元二次不等式OF®解关于x的不等式:ax2+2-4ax-8〉
0.解不等式ax2+2-4ax-80可化为ax+2x-40当a=0时不等式的解集为｛x|x4｝当a0时不等式的解集为｛x|x4或x--｝a当a0时，即x+-x-40a当0--4即a二时a2不等式的解集为｛x|-2x4｝a当二〉4即」〈a〈0时，a2不等式的解集为｛x|4〈x〈-4a当二二4即时不等式的解集为
0.a2综上当a=0时不等式的解集为｛x|x4｝;当a0时，不等式的解集为｛x|x4或x--｝;a当-9a〈0时不等式的解集为｛x14x--｝;2a当时，不等式的解集为0;当a—时不等式的解集为｛x|--x4｝.2a♦解题策略I.一般地在解含参数的一元二次型不等式时若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根则需要从如下两个方面进行考虑⑴关于不等式类型的讨论:二次项系数a0a0a=
0.⑵关于不等式对应的方程根的大小的讨论X1X2XkX2X1x
2..若含参数的不等式对应的二次方程的判别式含参数主要对关于不等式对应的方程是否有根进行讨论.［针对训练］⑴不等式组｛工£；°的解集是性质性质内容特别提醒性质1（可加性）aba+cb+c■性质2ag]ac〉bccOJ注意c的符号性质3a^!acbccoJ性质4（传递性）abbcac■性质5abba■（对称性）推论1a+bcac-b■推论2（同向可加性）ag|a+cb+dcdJ■推论3（同向同正可乘性）a2油cbd0cdoj■推论4（可乘方性）ab0anbnn£Nnlab同为正数推论5（可开方性）ab0VaVbab同为正判别式A=b2-4acA0A=0A0二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像4/玉JnI42*一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根有两相异实根X1x2有两相等实根__bX1=X2—~—2a没有实数根X1X2ax2+bx+c0a0的解集{xX〈X1或X〉X2{xxWxi}{xx£R}ax2+bx+c0a0的解集{xX1XX2}00。
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