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课时作业53定点与定值问题[刷基础].已知A5分别为椭圆E3+丁2=141的左、右顶点,G为E的上顶点,启・Gh=
8.P为直线x=6上的动点,%与£的另一交点为C尸5与E的另一交点为D1求E的方程;2证明直线CO过定点..[2022•山东德州模拟]设抛物线C丁2=2〃式仍的焦点为凡点尸%m〃》o是抛物线上一点,且|PF|=
5.1求抛物线的方程;2过点1—4的直线与抛物线C交于A8两个不同的点均与点P不重合,设直线%P3的斜率分别为攵],攵2求证依依为定值.[刷能力].已知抛物线E2=2〃工仍0的准线为1=—1mN为直线x=—2上的两点,MN两点的纵坐标之积为一8尸为抛物线上一动点,PM尸N分别交抛物线于A、8两点.1求抛物线£的方程;2问直线是否过定点,请求出此定点;若不过定点,请说明理由..[
2022.湖北襄阳模拟]已知双曲线C]一弓=1的左、右顶点分别为AB过右焦点方的直线/与双曲线C的右支交于P两点点P在x轴上方.⑴若两=3的,求直线/的方程;2设直线APBQ的斜率分别为俗,k证明为定值.[刷创新].以椭圆C,+\=1人的中心为圆心,[♦+♦为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.已知椭圆C的长轴长是短轴长的陋倍,且经过点1椭圆的“准圆”的一条弦A8所在的直线与椭圆C交于M、N两点.1求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程;2当南•苏=0时,证明弦A3的长为定值.课时作业53定点与定值问题
1.解析1由题设得A—a0Ba0G
01.则AG=a1GB=a-
1.由AG・GB=8得a—1=8即a=
3.所以E的方程为5+y2=L2设CxiyiDx2y2P6t.若tWO设直线CD的方程为x=my+n由题意可知一3n
3.由于直线PA的方程为y=1x+3所以yi=1xi+
3.直线PB的方程为y=yx—3所以y2=]X2—
3.可得3ylX2—3=y2xi+
3.可得27yly2=—xi+3X2+3即27+m2y1yi+mn+3y+y2+n+32=
0.
①将x=my+n代入§+y2=l得m2+9y2+2mny+n2—9=
0.能2mnn2—9所以%+丫2=一户,丫»2=鬲石・代入
①式得27+m2n2—9—2mn+3mn+n+32m2+9=
0.3解得m=-3舍去,n2=2«3故直线CD的方程为x=my+qJ即直线CD过定点住
0.若t=0则直线CD的方程为y=0过点|o.综上,直线CD过定点|
02.解析1P4mm0是抛物线C上一点,且|PF|=5・・4+4=5解得p=
2.,抛物线C的方程为y2=4x.2因为P4mm0是抛物线C上一点,・・・m=4即P
44.设直线AB的方程为x-l=ty+4AxiyiBx2y
2.[x—1=ty+4由彳9消去x得y—4ty—16t—4=0ly=4x;・yi+y2=4ty1y2=-16t—
4._y「4丫2_4_y「4丫2_41612Xi~4X2—4y\y|yi+4y2+4yiyz+4yi+y2+16—16t—4+4X4t+163即kik2为定值..解析1由一号=—1得p=2故抛物线方程y2=4x.2设Pxyo、Axiyi、Bx2ya直线AB方程为x=my+n代入抛物线方程化简得y2—4my—4n=0A=16m2+16n0yiy2=-4n由直线PA的斜率kpA=^=干|=六444则直线PA的方程y—yo=~T~x—x
0..yiIyo又因为y=4xo即直线PA的方程4x—yi+yoy+yiyo=OyM.yN=\*y%;y=_8整理得yiy2+8yj+8=
0.则y»2=—8即一4n=—8An=2故直线PA的方程x=my+2即直线AB过定点
20..解析1设点PxiyiQX2y2「12—3X22-3y224—5―将P12—3x2—3y2QX2y2代入双曲线C方程得《22消去y2解得X2=w,又点P在x轴上方,,点Q在x轴下方,,y2=一当但,•••Q停-喈..kFQMZVI工直线1的方程为2也x—y—6也=
0.⑵:过右焦点F的直线1与双曲线C的右支交于PQ两点,F30•••可设直线1的方程为x=my+3Pmyi+3yiQmy2+3yix=my+3联立方程xy2消去x整理得5m2-4y2+30my+25=0「5=15m2—4^02\R则|9/、,解得mW±T-A=900m2-4X25X5m2-
405.t30m
25.・w+y2=_^VA-20B20・・・kAP=k产.kiyimyz+lmyiyz+yiky2myi+5myiy2+5y2’又•:myiy2=25m5m2—4ki一焉yl+y2+y••值=-5yi+y+5y2fa=V2b
5.解析1由题意得<21解得a=2b=,^■+L,92所以椭圆的标准方程为、+3=1-rA椭圆C的“准圆”方程为x2+y2=
6.2证明
①当弦ABJ_x轴时,交点M、N关于x轴对称又因为6M6n=0则OMLON可设Mtt、Nt-t^+2=1得川=寸,此时原点O至U弦AB的距离d=|t|=卒jJ因此|AB|=
2、y6—g=|v会.
②当弦AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为y=kx+m且与椭圆C的交点Mxiyi、Nx2y2代入消元得2+4k2*+8kmx+4m2—8=0—8km4m2—8由Xl+X2=干记,xiX2=2+4k2—8km।92m2—8k22+41+m=2+4k25由OM-ON=0得xiX2+yiy2=04m2—8।20—8k26m2—8k2—82+41+2+41=-2+41-=0所以此时A=324k2-m2+2=32jk2+|0成立综上得|AB|=1V菱,因此弦AB的长为定值.。