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第4节均值不等式及其应用回课程标准要求.掌握均值不等式统2属(a0b0).
2.结合具体实例能用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.必备知识•课前回顾知识梳理.算术平均值与几何平均值给定两个正数ab数学称为ab的算术平均值;数应称为ab的几何平均值.两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值..均值不等式史2疝2⑴均值不等式成立的条件:a0b〉
0.⑵等号成立的条件:当且仅当a^b..均值不等式与最值已知xy都是正数.⑴若xy二P(积为定值),则当x二y时和x+y取得最小值26(简记:积定和最小).c2⑵若x+y=S(和为定值),则当x=y时积xy取得最大值(简记:和定积最大).4■释疑Ia2+b2^2ab成立的条件与士了力而成立的条件相同吗?提示:不同£+b222ab成立的条件是aeRb£R而噂三而成立的条件是a0b
0..,22ab同号.ab
2.abCab£R.
3.X232ab£R.22所以m2+2n2amn即aN772^+2712mnnm~因为”+初三2悭-以2近nm7nm所以a,2近即最小值为2V
2.故选B.戚!考点三均值不等式的实际应用西某厂家拟进行某产品的促销活动根据市场情况该产品的月销量即月产量m万件与月促销费用x万元xNO满足m=10-^-k为常数如果不搞促销活x+2动,则该产品的月销量是2万件.已知生产该产品每月固定投入为8万元每生产一万件该产品需要再投入5万元厂家将每件产品的销售价格定为”3元设m该产品的月利润为y万元.注:利润二销售收入-生产投入-促销费用.1将y表示为x的函数;⑵月促销费用为多少万元时,该产品的月利润最大?解⑴由题意知当x=0时m=2代入m=10一三,x+2贝IJ2=10--解得k=16所以m=10--.2x+2利润y=mX96+6m-8-5m-x=
1.6+m-xm又因为m=10-三,x+2所以y=l.6+m-x=ll.6-上~-xx£[0+°°.x+22由1知y=
13.6-=-x+2x+2因为xNO时x+2三2所以弋+(x+2)二8当且仅当x=2时等号成立.X+2所以yW
13.6-8=
5.6故月促销费用为2万元时该产品的月利润最大最大为
5.6万元.解题策略利用均值不等式求解实际问题时应注意以下几点⑴根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后再将函数解析式变形利用均值不等式求得函数的最值.⑵在求函数的最值时一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.[针对训练]已知快递公司要从A地往B地送货AB两地的距离为100km按交通法规AB两地之间的公路车速x应限制在60〜120km/h(含端点),假设汽车的油耗为(42+耳)元/时,司机的工资为70元/时(设汽车为匀速行驶),若燃油费用与司机400工资都由快递公司承担.⑴试建立行车总费用y元关于车速x的函数关系;⑵若不考虑其他费用,以多少车速行驶快递公司所要支付的总费用最少最少费用为多少解
(1)设车速为xkm/h则时间为fhX依题意可得y4”(42+贮+70)=三+匕x£
[60120].X4004X当且仅当三二三%即x=80时取等号4%所以以80km/h的车速行驶快递公司所要支付的总费用最少最少费用为280兀.息备选例题CWD设aOb〉O则下列结论正确的有()a+2b-+-29aba2+b2^2a+b+l02卜2C.-+-^a+bbaD.X2而a+b答案:ACDCWD设实数a〈b则下列不等关系正确的是()B.若al贝logaab2c.若a0则鼻〉鼻D-若m,陞13Mlj|a3-b3-ma2-b2+a-b0答案:BCD丽若x0y0x+2y=1则的最大值为2x+y1111A.-B.-C.-D.—45912解析由题意知又x0y0x+2y=l.所以2+L-+-x+2y二2+至+522・I丝・空+5=4+5=9yxyxyx7y%当且仅当空二型即X二yW时取等号所以三的最大值为故选c.yx32x+y9C®已知ab0则2a+±+工的最小值为a+ba-bA.4XV4B.63•3D.3V27az-bz解析因为ab0所以2a+-^—+-^-=a+b+—~+a-b+二a+ba~ba+ba-b因为a+b+上22Ia+b-^-=4a+baa+b(a-b)+二三2I(Q-b)•▲=2a-b7a-b所以22+々+326当且仅当a+b=2a-b=l时等号成立.故选B.a+ba-bCW(2021•浙江临海高考模拟)已知正实数ab满足a+2b=2则业+二的最ab+1小值是()A.-B.-C.-D.-4343解析因为正实数ab满足a+2b=2且b2=b+12-2b+1+
1.匚u
1、|2+12匕2leiica2121/id2\l/r2b+22Q\所以丁+直#+7^+2-4+西二1正二近+26+21京1二山+4+=+由2当且仅当我日时取得最小值.故选A.C16)已知实数ab满足(a+2)(b+1)=8有以下结论:
①存在a0b0使得ab取到最大值;
②存在a0b〈0使得a+b取到最小值.正确的判断是()A.
①成立
②成立B.
①不成立
②不成立C.
①成立
②不成立D
①不成立
②成立解析因为a+2b+l=8所以ab=6-a+2b.
①a0b0a+2b=a+2+2b+2-4N2,a+22b+2-4=4当且仅当a=2b时取等号,所以6-ab24解得abW2即ab取到最大值2
①正确.@a0b0当a+20时a+b=a+—-1=a+2+--32a+2•--a+2a+27a+23=4V2-3当且仅当a+2二三时取等号此时a=2遮-2不符合a0不满足题意;a+2当a+20时a+b=a+—-l=a+2+—-3=-[-a+2]-3-3-4V2a+2a+2a+2此时取得最大值没有最小值
②错误.故选C.瓯若ab是正实数且a+b=l则工+々的最小值为aab解析因为a+b=1工+2_二3+”二1+型+工=1+2+级+级二3+2+±三2I—•-+3=3+2a/2当且仅当aabaababaabaabyjaba+b=L弛—2即a=2V2b=V2-l时,等号成立.tab答案:3+2近2021•安徽蚌埠高三模拟已知abc为正数,且满足a+b+c=l.证明1ab+bc+ca-;2毛+翠
249.abc证明1因为a-b2+b-c2+c-a2^0WLU2a2+b2+c2^2ab+2bc+2ac所以a2+b2+c2ab+bc+ca当且仅当a二b二c时,等号成立,因为abc为正数且满足a+b+c=l所以1=a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac所以1三3ab+bc+ac即ab+bc+caW±⑵因为a+b+c=l所以至+3+L至+3+3a+b+0=abcabc4cb•一二bc21+16+8+4=49当且仅当吟吟咛时,等号成立.
(1)a2+b2+c2^ab+bc+ca;
(2)a0b0c0则^3J号!少詈阿N击(a0b0).Yab
226.若a0b〉0则a2+b2^2ab可变形为aN2b4-或b^2a-—.ab—g对点自加三一
1.下列命题正确的是(D)A.若ab£R则三22I-•^=2ab7qbB.若x0则x+-2%C.若x0贝Ux+±三一2lx•-=-4XyXD.若x£R则2x2+^-^22/•J=22xz72xz解析:A选项必须保证ab同号.B选项应含有等号,即若x0则x+-
2.C
2.C选项X应该为“W”.故选D..(新教材习题改编)若x〉0则函数y二些(D)XA.有最大值-4B.有最小值2C.有最大值-2D.有最小值4解析因为x0所以±0所以y=--+x^25二二4当且仅当士二x即x=2时,XXXyXX等号成立,即函数y二四有最小值
4.故选D..周长为12的矩形,其面积的最大值为(D)A.6B.7C.8D.9解析设矩形的长、宽分别为Xy则2x+y=12即x+y=
6.所以S二xyW等产9当且仅当x二y二3时取等号.因此面积的最大值是
9.故选D..函数fx=x+Lx〉l的最小值是,此时x二.X-1解析因为X〉l所以X-
10.由均值不等式可得fx=x-l+V+12X-12Ix-1•^-+1=2+1=3当且仅当xT=二即x=2时,函数取得最小值
3.7X~1X-1答案
32.已知函数fx=4x+-x0a0在x=3时取得最小值,则a=.X解析因为x〉0a0所以fx=4x+2三2\^x•-=4Va当且仅当4x=-即4x2=aXylXX时fx取得最小值.又因为fx在x=3时取得最小值所以a=4X3=
36.答案36关键能力•课堂突破0点一利用均值不等式求最值幅度-直接法求最值C#RV3-aa+6-6a3的最大值为.解析因为-6a3所以3-a0a+60由均值不等式可得J3-a+6W号始芸,当且仅当3-a=a+6即a二3时,等号成立.答案4解题策略利用均值不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件“一正二定三相等”.“一正”就是各项必须为正数.“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值则必须把构成积的因式的和转化成定值.“三相等”是利用均值不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值.角度二配凑法求最值画后函数尸立兹里x〈T的最大值为X+1A.3B.2C.1D.-1解析因为y二立一二Kx+1+-A-]+lx+1x+1-x+1当且仅当x+l=—即x=2时等号成立.故选D.x+1彳解题策略!.形如半,其中fX是二次函数gx是一次函数的最值常见分子中的自变量变形为分母的形式后构造满足均值不等式的条件求最值..配凑法就是将相关代数式进行适当的变形通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式然后利用均值不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形配系数、凑常数是关键.幅度三常值代换法求条件最值SO1已知a0b0a+b=-2则尸工+!的最大值为abA.-1B.--C.-4D.-222021•贵州遵义一模若正数xy满足x+2y-2xy=0则x+2y的最小值为A.9B.8C.5D.4⑶若正实数ab满足a+b=4则2+工的最小值是.?a+1b+1解析1因为a0b0a+b=-2所以工+9《雪》a+b=-;2+4Wab2ab2ab42+2「1=-2当且仅当a=b=-l时取等号故y」+的最大值为-
2.故选D.2761bab2由x+2y-2xy=0得x+2y=2xy所以;+工二
1.2yx所以x+2y•l=x+2y•工+与=2+二+肛22+2I—•^=42yx2yx72yx当且仅当『二N即x=2y=l时取等号.故选D.2yx⑶由a+b=4得a+l+b+l=6所以」_+/_」・J-+J-.a+l+b+l=i5+—+—^-5+2I空-空与二.当且a+1b+16a+1b+16a+1b+16yja+1b+12仅当今二弁即a=ib=3时,等号成立.a+1b+1答案⑴D2D3fE尸解题策略I常值代换法主要解决以下最值问题已知形如或可化为x+y=tt为常数,求士+2的最值以及形如或可化为耳丝t求%yxycx+dycdWO型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将q+2看xy作是2+与•字或cx+dy看作是cx+dy=cx+dy・f+g变形后利用均值不等xyttxty式求最值.角度四消元后求最值SO2021•江西重点中学协作体高三模拟已知Xy为正实数满足4x+y+2xy=7则2x+y的最小值为.解析由4x+y+2xy=7可得出■=D二三尸.2x+l2x+l2x+l%0由于xy为正实数则7-曲、n7一百〉u可得0x-4所以2x+y=2x+」--2=2x+l+,-—3三22x+1•--3=
3.2x+l2x+lN2x+l当且仅当2x+l二不j时,即当x=y=l时等号成立,因此2x+y的最小值为
3.2%+1答案3解题策略对于二元变量的条件最值问题若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量将待求式化为一个变量的关系式后求最值此类要注意所保留变量的取值范围.幅度五多次利用均值不等式求最值WH5若ab£Rab0则上产的最小值为.?ab々刀4*匚m、/1\n匚匚[、[q4+4匕4+1匕4+14a2b2+]1o\A\1A口解析因为ab0所以——-一三=——--=4ab+—^24ab•—=4当且abababababa2=2b2n41仅当i时取等号,故的最小值[ab=-abI2是
4.答案4解题策略当运用一次均值不等式无法求得代数式的最值时常采用第二次均值不等式需注意连续多次使用均值不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立并且注意取等号的条件的一致性.[针对训练].已知a0b0则2痴+工+的最小值是abA.2B.4C.4V2D.6解析因为a0b0所以2份万占;三2痴+*三4当且仅当a=b=l时取等号.abNab故选B..已知0xl则x4-3x取得最大值时x的值为.解析:x4-3x」X3x-4-3x蜷X[竺山包]2=33323当且仅当3x=4-3x即X2时,取等号.3故所求X的值为|.答案
3.设a0b0且5ab+b=l则a+b的最小值为.解析因为5ab+b2=l所以a二4三名5b5b5所以a+b竺22I--当且仅当a=-b」时等号成立所以a+b5b55b575b55102的最小值为点答案
4.已知x0y0且2x+8y-xy=0则xy的最小值是x+y的最小值是.解析:
①由2x+8y-xy=0得勺+马二
1.%y又x0y0则1二军三2I-•-=-p=得xy三64xyylxyyfxy当且仅当匹与即x=16且y=4时等号成立.所以xy的最小值为
64.xy
②由2x+8y-xy=0得三+马二1%y贝Ix+y=-+-x+y=10+—+^^10+2I—•^^
18.xyyx7yx当且仅当名二2即x=12且y=6时,等号成立,y%所以x+y的最小值为
18.答案:6418场考点二均值不等式的综合应用0角度-利用均值不等式求解恒成立问题OED已知函数fx=X-a+3x+l.若
[12]时,fx20恒成立则实数x的a取值范围是.解析由题意,?
[12]时,fx三0恒成立,可知x2+l》xa+L恒a成立.当xWO时显然成立.当x0时,则有a+-^x+-ax若ga=a+二要使题设不等式恒成立,a仅需gamaxWx+工即可而a£
[12]时ga£[2刃,所以x+工%2X2解得x£0u[2+
8.综上xe—81]u[2+0°.乙答案-8j]U[2+8解题策略含参数的不等式恒成立问题若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:a〉fx恒成立,则a〉fxua〈fx恒成立,则afxmln而涉及的最值问题常借助均值不等式求解.幅度二利用均值不等式求解存在性有解问题例2-2已知函数fx=x2+ax+3x£R.存在x£-°°1时关于x的不等式fxWa有实数解则实数a的取值范围是.解析:x+ax+3-aWO在x£-°°1时有解贝Ux^S^ad-x^-°°1上有解.由于x£-°°1则l-x0即心5二g有解.1-x由于立卫生金生色”二1-x+±-2三21-X士-2二2当且仅当1-乂=上即1~X1-X1-X71-X1-XX=-1时取等号,所以实数a的取值范围是[2+
8.答案[2+8解题策略含参数的不等式存在性有解问题若能够分离参数则常将参数分离后利用最值转化法求解常用的最值转化法为:afx有解则afxmaxafx有解则afxmin而涉及的最值问题常借助均值不等式求解.[针对训练].若两个正实数xy满足分工=1且x+2ym2+2m恒成立则实数m的取值范围是%y-°°-2U[4+8-oo-4]U[2+8-42-24解析因为xy0且Li由均值不等式得x+2y=x+2y2+工二丝+42%yxyxy2忸-二+4二8当且仅当x=2y时等号成立所以x+2y的最小值为
8.7%y由题意可得m2+2mx+2ymln=8即m2+2m-80解得-4〈m
2.因此实数m的取值范围是-
42.故选C.
2.若存在m使m2-amn+2n2^0成立则实数a的最小值为A.V2B.2V2C.4D.-2解析因为存在叫n£R使m2-amn+2n2^0成立,。