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文本内容:
第6节圆锥曲线的综合问题回裸程标准要求.掌握解决直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系的思想方法..了解圆锥曲线的简单应用..理解数形结合的思想.必备知识•课前回顾冉知识梳理.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线1与圆锥曲线C的位置关系时通常将直线1的方程Ax+By+C=0AB不同时为0代入圆锥曲线C的方程Fxy=0消去y或x得到一个关于变量x或y的一元方程./门Ax+fiy+C=0/口2八例由[尸反y_0消去y得ax+bx+c=
0.1当aWO时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为A则〉0直线与圆锥曲线C相交;=0直线与圆锥曲线C相切;0直线与圆锥曲线cii离.⑵当a=0bWO时,即得到一个一元一次方程则直线1与圆锥曲线C相交且只有一个交点此时,若C为双曲线则直线1与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线则直线1与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合..弦长公式设斜率为kkWO的直线1与圆锥曲线C相交于AB两点Axiy.Bx2yj则|AB|=V1+k2|x]-x2=⑴证明设P(xoy0)A(^yi,yi)B(H,y2).因为PAPB的中点在抛物线上,12_i_所以y1丫2为方程(学尸二4•即y-2y°y+8x-九二0的两个不同的实根.所以yi+y2=2y0所以PM垂直于y轴.⑵解由⑴可知『1+乃;2叱=8%()-光,所以|PMI二(负+及)-Xo二:九-3xoo4y-y21=2J2(yg-4x0).所以4PAB的面积Sapab--PM•y「丫2I二学(九-4xo”.因为就+华1(TWxo〈O)所以羽-4xo=-4就-4xo+4£
[45]所以4PAB面积的取值范围是[6V2竺普].4V1+Zc2•J%!+X22-4x1X2或Iabl=+•Iy「y2二7kLJi+我•Jyi+y-22-4y,
2.ISI重要结论1过抛物线内焦点所在区域一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线;⑵过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;⑶过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.1过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线;⑵过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平行的直线;⑶过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线.第一课时最值、范围问题关键能力•课堂突破度透点一最值问题幅度-利用目标函数求最值dED已知抛物线3:y=4x和C2:x2=2pyp0的焦点分别为FbF2点P-1-1且FF2±0P0为坐标原点.⑴求抛物线C2的方程;⑵过点的直线交G的下半部分于点M交C2的左半部分于点N求4PMN面积的最小值.解⑴因为F«0F209,所以尸1尸2=-
1.,尸12・小二一噌・-1-1=1-^=0所以P二2所以抛物线C2的方程为x2=4y.⑵设过点0的直线MN的方程为y=kxk02联立俨=产,得心2%解得亚白今y=kx1k联立产2=/y,得N4k4k2y=kx从而|MN|=V1+fc2|2-4k|=k乙vm”,kL点P到直线MN的距离d二号工,Vi+fc2所以Sapmn=;•J•V1+/c2吟-4k2Vl+fc2fc22l-k1-fc3_2l-fc2l+k+fc2k2=2k4-2k4+lkk令t=k+yt-
2.k则s△PMX=2t-2t+1当t二-2即k=-l时S.mn取得最小值最小值为
8.即当过原点的直线方程为y=-x时,△PMN的面积取得最小值
8.解题策略圆锥曲线中的最值问题类型较多解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.幅度二利用均值不等式求最值22而
②已知椭圆M3+5=la0的一个焦点为F-10左、右顶点分别为ABaL3经过点F的直线1与椭圆M交于CD两点.⑴当直线1的倾斜角为45°时求线段CD的长;⑵设4ABD与4ABC的面积分别为S1和S2求|S「S21的最大值.解1由题意得c=lb2=3所以a2=422所以椭圆M的方程为3+5=143易求直线1的方程为y=x+142y2_联立方程,得了十石=Ly=冗+1消去y得7x2+8x-8=0设CxiyiDx2y2△=28888xi+x2=--XiX2=--V2-JXi+x22-4x1x2=y.⑵当直线1的斜率不存在时直线方程为X=-1此时4ABD与aABC的面积相等,|S「S2|=0;当直线1的斜率存在时,设直线方程为尸kx+lkWO{/y2y=%X+1消去y整理得3+4k2x2+8k2x+4k2-12=03+4k2KN_3+
4.2,y21-1yi||=21y2+yiI=2|kx2+l+kXi+1|=2|kx2+xi+2k因为kWO所以上式二#_w二靠二正当且仅当k二士噂时,等号由+4|k|2*4|k|27122\Ik|成立,所以|s「S21的最大值为V
5.解题策略.均值不等式不但可以直接解决和与积的不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可以解决其他形式的不等式.如:和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积的和等..分析问题中的数量关系,引入未知数并用它表示其他的变量把要求最值的变量设为函数..利用均值不等式求函数的最值时关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用均值不等式求出最值.[针对训练]
1.已知椭圆:+/=1上两个不同的点AB关于直线尸mx+;对称.设AAOB的面积为S(t)所以St=1lAB|・d|J-23}2+2W当且仅当t弓时等号成立此时满足t2e
01.故AAOB面积的最大值为22r-
2.已知人8分别为椭圆忙念1@州〉0的左、右顶点,河|=4且点1争在椭圆M上.1求椭圆M的标准方程;⑵若点Pxoy°y°W0为直线x=4上任意一点PAPB分别交椭圆M于CD两点求四边形ACBD面积的最大值.解1由题意得a=2将点1当代入椭圆M的方程可得6二工二14b2,解得b2=2所以椭圆M的标准方程为二
1.42⑵设CxiyiDx2y2由题知A-20B20P4y不妨设y00则直线AP的方程为y=?x+26同理可得yz亏器.2+Joy-y2淀.?36%就+1|+20=32—yO+y°—5+畀2+
8.令u=y0+—^2a/6当且仅当yo二遍时等号成立则S四边形ACBD~—~~=8,,”+8%令gU二当易得gu在[2V6+8上单调递减,u+-u故gu有最大值其最大值为g2V6=2V6所以四边形ACBD面积的最大值为2V
6.峭点三|范围问题22CWD已知F」2为椭圆C a+/la〉b0的左、右焦点,点P23为其上一点且IPF/+IPF2U
8.⑴求椭圆C的标准方程;⑵若直线1:y=kx-4交椭圆C于AB两点,且原点0在以线段AB为直径的圆的外部,试求实数k的取值范围.解⑴由题意可得侵+卷=£解得鹿=12a=8旧=1222所以椭圆c的标准方程为[+1=
1.1612{/y2瓦+石一£得y=kx-44k2+3x2-32kx+16=0匚匚।、I32k16所以XiX2“+3X1X2-诉石,由△〉0得-32k-4X164k2+30解得k〉;或k-
1.
①原点0在以线段AB为直径的圆的外部——则04•O30所以-—0A•OB=XiX2+yiy2=XiX2+kxi-4•kx2-4=k2+lXiX2-4kxi+x2+16=k2+l•16632k164-3d际—4k•乐+16二m^0解得-乎k竽
②由
①②得实数k的取值范围是-写「9u.7解题策略I解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面1利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.⑵利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.⑶利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.4利用已知的不等关系构造不等式从而求出参数的取值范围.⑸利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数求其值域从而确定参数的取值范围.[针对训练]如图,已知点P是y轴左侧不含y轴一点抛物线C:y2=4x上存在不同的两点AB满足PAPB的中点均在C上.1设AB的中点为M证明PM垂直于y轴;⑵若P是半椭圆x2+^lx0上的动点求APAB面积的取值范围.。