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第4节均值不等式及其应用课时作业灵活》强方数提能CH选题明细表A级基础巩固练2021•河南天一高二期末联考当x〉l时fx二三的最大值为Axz+4IA-B.-C.1D.242解析因为X1故fx二之二jw—鼻弓当且仅当x±即x=2时取等号故xz+4X+-QL44%fx=3的最大值为土故选A.Xz+442021•重庆高三调研已知x2ylx-2・y-1=4则x+y的最小值是CA.1B.4C.7D.3+V17解析因为x〉2ylx-2y-l=4所以x+y=x-2+yT+322J%-2y-1+3=7当且仅当I;;之时等号成立.故选C.2021•全国乙卷下列函数中最小值为4的是CA.y=x2+2x+4B.y=B.y=|sinx|+—^—sinxC.y=2x+22-xD.y=lnx+—In%解析:y=x2+2x+4=x+l2+323所以函数的最小值为3故选项A错误;因为0〈|sinx|Wl所以y=Isinx|+4三2/1sinx|•4=4Isin%I7Isinx|当且仅当Isinx|二[即|sinx|=2时取等号,因为0|sinx|1所以等号取|sm%|不到,所以y=Isinx|+厂—4故选项B错误;Isin%|因为2x0所以y=2x+22-x=2x+^2辰-4当且仅当2X=2即x=l时取等号所以函数的最小值为4故选项C正确;对于Dy=lnx+占,函数的定义域为01U1+8而inxeR且In%InxWO如当Inx=-l时y=-5故选项D错误.故选C.2021•江苏无锡模拟设实数x满足x〉0则函数y=2+3x+白的最小值为X+1AA.475TB.4V3+2C.4V2+1D.6解析因为x〉0所以x+l〉l所以y=2+3x+^-=2+3x+1-3+^-=x+1x+13x+1+--1^2l3x+l•--1=4V3-1当且仅当3x+l=—即x=--l0x+17x+1x+13时等号成立所以函数y=2+3X+的最小值为4V3-
1.故选A.%+12021•湖南高三模拟由于近年来,冬季气候干燥,冷空气频繁袭来.为提高公民的取暖水平某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站这两项费用分别为5千元和8万元那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区多远处AC.7千米D.8千米解析:设供热站应建在离社区X千米处则自然消费y尸”供热费y2=k2XX由题意得,当x=20时yi=O.5y2=8所以ki=xyF10k2=—=jx5所以y尸竺y2=1x.x5所以两项费用之和为当且仅当U=即x=5时等号成立所以要使这两项费用之和最小,供热站应建Al5在离社区5千米处.故选A..已矢口a0b0B-+|=Vab贝1Jab的最小值是.ab解析因为I--abyjab所以ab^2V6当且仅当红制取等号.ab答案2«.若两个正实数xy满足4x+y=xy且存在这样的xy使不等式x+^m2+3m有解4则实数m的取值范围是.解析由4x+y=xy-+-=1知(x+上)(3+±)二1+把+工+122+2—•—=4%y4xyy4xyjy4x当且仅当x=2y=8时等号成立则使不等式x+^m2+3m有解,只需满足m2+3m44即可解得(-8一4)U(1+8).答案(-8-4)U(l+8).已知m0xy0当x+y=2时不等式分上24恒成立则m的取值范围xy是.解析因为m0xy0x+y=2所以2%+y)(吧+至+m+2)泉(2师+m+2)xy2xy2yx2因为不等式分经24恒成立,Xy所以工(2痴i+m+2)三
4.2整理得(,京+3近)鱼)20解得仍2企即01三
2.答案[2+8)
9.证明下列各题已知abc为正数.⑴若abc=l求证:a+b+cW=+U+=;azbzcz
(2)若a+b+c=9求证:工+工+工
21.abc证明:
(1)由条件abc=l得azbzab当且仅当a=b时等号成立,922台2@当且仅当b=c时等号成立,bzc乙be4+4^-=2b当且仅当c二a时等号成立,czazca以上三个不等式相加可得2(4+^+4)N2(a+b+c)Q,b,C乙当且仅当a=b=c时等号成立,因止匕a+b+cazbzc乙
(2)(a+b+c)(工+护)二3+(然)+铲)+(2+£)因为abc为正数abcbabcca所以(a+b+c)(工+工+工)23+2I-•-+2I-•-+2I-•-=3+2+2+2=9abc7ba7bc7ca当且仅当a=b=c=3时取等号,所以工+工+工三
1.abcB级综合运用练(2021•浙江竦州高考模拟)已知x0y0且x+y=xy-l则(Dxy的最大值为3+2V2xy的最大值为62x+y的最小值为3+3V22x+y的最小值为7解析:x〉0y0且x+y=xy-1^2A/xy当且仅当x=y时取等号,解得或历Wl-(舍去),故xy三3+2加即xy的最小值为3+2鱼没有最大值A错误B错误;因为x+y二xy-1所以x二箸0故y〉l当且仅当y—1或即尸3x=2时取等号所以2x+y的最小值为7C错误D正确.故选D.n.(
2021.山西运城模拟)若abc均为正实数,则匿■的最大值为(A)由a2+b2^2abb2+c2^2bc可知a2+b2+b2+c222ab+bc.因此赤潦簧荷卡溪祟弓(当且仅当b二C时取等号)•故选A..(多选题)对于正数ab且a+b=4若abmb+3a+4恒成立则m可以为BCDA.3B.-C.2D.12解析因为对于正数ab满足a+b=4所以abmb+3a+4恒成立化为―匕+3q+4b+3a+cL+b24l—.、▲二「^二广/旦成乂,又因为,94令+9三6+弛+F三幺6+2P-千二|十/ab4ab4ab4xab2当卜=4V2-4时等号成立所以m^|+V2选项BCD都符合题意.故选BCD.Ib=8-4V
22.(多选题)(2021•福建南平模拟)已知a0b0a2+b2-ab=2则下列不等式恒成立的是(BC)A.-+-V2B.ab2abC.a+bW2近D.a2+b2^4解析:对于AB由a0b0利用均值不等式a2+b2^2ab可得ab+222ab解得abW
2.又工+4力之(当且仅当a二b二鱼时等号成立),而abW2所以名所以工+:2ab7abyjababV2故B正确A错误;2由a0b0利用均值不等式变形a2+b2-ab=2得42(a+bT-2=3abW=(当且仅当a二b二四时等号成立),4解得(@+函・8即a+bW2企故C正确;由a0b0利用均值不等式手,化简a2+b2-ab=2得l+b-2=abW亨(当且仅当a二b二四时等号成立),解得a2+bW4故D错误.故选BC.
14.政府无息贷款10万元给某农户养羊每万元可创造利润
0.15万元.若进行技术指导养羊的投资减少了x(x0)万元且每万元创造的利润变为原来的(1+
0.25x)倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店进行农产品销售则每万元创造的利润为
0.15(a-
0.875x)万元其中a
0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润求x的取值范围;⑵若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润求a的最大值.解
(1)由题意,得
0.15(1+
0.25x)(10-x)^
0.15X10整理得x2-6x^0解得0WxW6又x0故0xW
6.⑵由题意知网店销售的利润为
0.15a-
0.875xx万元,技术指导后养羊的利润为
0.151+
0.25x・10-x万元则
0.15a-
0.875xx^
0.151+
0.25x10-x恒成立又0〈x10所以a-+-+l.5恒成立,8%又当+竺三5当且仅当x=4时等号成立,8%所以0〈aW
6.5即a的最大值为
6.
5.C级应用创新练
15.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离并集合车速转化为所需时间,当此距离等于报警距离时就开始报警提醒等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段分别为准备时间t人的反应时间系统反应时间t2制动时间t3相应的距离分别为dd1d2d3如图所示.当车速为vn/s且丫£
033.3]时通过大数据统计分析得到下表给出的数据其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化k£
[12].1请写出报警距离dm与车速vm/s之间的函数关系式dv;2当k=2时求在汽车达到报警距离时若人和系统均未采取任何制动措施仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间;⑶若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于50m则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒解⑴由题意得dv=d0+di+d2+d322所以dv=10+
0.8v+
0.2v+-^—=10+v+-^—.20Zc20Zc⑵当k二2时,”2dv=10+v+—40tv=—+—+1^1+2I—x-^-=1+1=2s.V40yV40即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2s.⑶根据题意要求对于任意ke
[12]dv50恒成立”2即对于任意ke
[12]10+v+^-50zu/c即熹售恒成立,由k£[l2]即v2+20v-8000解得-40〈v〈
20.所以0v
20.所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以内.知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练利用均值不等式求最值123461011均值不等式的应用578912131415•^・■报警距离d1J…危险距离d\…冲当111力…中hN•;阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动时间toti=
0.8st2=
0.2st3距离d0=10md.d21V2d3=m20k。