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第4节古典概型与事件的相互独立性例课程标准要求.理解古典概型能计算古典概型中简单随机事件的概率..结合古典概型，了解两个事件独立性的含义..能利用事件的独立性解决一些实际问题.必备知识•课前回顾（对应学生用书第177页）知识梳理.古典概型⑴古典概型的定义:一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型简称为古典概型.⑵古典概型的特点:
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.
②每个基本事件发生的可能性相签即等可能性.⑶古典概型计算公式:如果样本空间含有n个样本点，且每个基本事件发生的可能性大小都相等因此每个基本事件发生的概率为:若事件C包含有m（mWn）个n样本点，则P（C）二2n.事件的相互独立性⑴相互独立事件的定义一般地，当P（AB）=P股地（B）时就称事件A与B相互独立（简称独立）.⑵相互独立事件的性质如果事件AB相互独立，那么才与BA与瓦万与再也相互独立.法三由题意可得，一共比赛了五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场，输一场.前四场甲队胜三场输一场的情况有如下两种，
①甲队主场输一场其概率Pi=CiX
0.6X
0.4X馥X
0.5=
0.
12.
②甲队客场输一场其概率P2=CiX
0.62XC1X
0.5X
0.5=
0.
18.由于第五场必定是甲队胜所以甲队以41获胜的概率P=P+P2X
0.6=
0.
18.答案
0.18网考点三“互斥、对立、独立”的综合应用0®甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为
0.8乙射中的概率为
0.9求12人都射中目标的概率；22人中恰有1人射中目标的概率；32人至少有1人射中目标的概率.解:记“甲射击1次，射中目标”为事件A“乙射击1次，射中目标”为事件B则A与B1与BA与瓦彳与月都为相互独立事件.12人都射中目标的概率为PAB=PAPB=
0.8X
0.9=
0.72所以2人都射中目标的概率是
0.
72.2“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中，乙未射中事件A后发生，另一种是甲未射中，乙射中事件ZB发生.根据题意事件A不与彳B互斥根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式所求的概率为PA月+P4B=PAP®+P4PB=
0.8X1-
0.9+l-
0.8X
0.9=
0.08+
0.18=
0.
26.所以2人中恰有1人射中目标的概率是
0.
26.⑶法一“2人至少有1人射中目标”包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况其概率为P=PAB+［PA月+P4B］=
0.72+
0.26=
0.
98.法二“2人至少有一人射中”与“2人都未射中”为对立事件2人都未射中目标的概率是PAB=PAPB=1-O.8X1-
0.9=
0.02所以2人至少有1人射中目标的概率为P=1-P近=1-
0.02=
0.
98.［典例迁移］变结论本例第3问，将“至少”改为“至多”，又该如何求解？解:法一“2人至多有1人射中目标”包括“2人有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为P=PAB+PAB+P4B=P®PB+PAPB+PAPB=
0.02+
0.08+
0.18=
0.
28.法二“2人至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P=l-PAB=1-PAPB=1-O.72=
0.
28.解题策略求复杂事件的概率关键是对事件等价分解分解成互斥事件的和或对立事件.一般地，已知两个事件AB:1AB中至少有一个发生为事件A+B;⑵AB都发生为事件AB;3AB都不发生为事件］豆；4AB恰有一个发生为事件A月+和；5AB中至多有一个发生为事件彳B+AB+KB.一备选例题C®D1从分别写有12345的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等且每张卡片上只有一个数字则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为A争噌晦D.|2从0123456789中任取七个不同的数则这七个数的中位数是6的概率为.⑶10件产品中有7件正品3件次品，从中任取4件则恰好取到1件次品的概率是.解析1法一列举法从分别写有12345的五张卡片中任取两张总的情况为1213141521232425313234354142434551525354共20种情况.两张卡片上的数字之和为偶数的有131524⑶135425153共8种情况所以从分别写有12345的五张卡片中任取两张这两张卡片上的数字之和为偶数的概率P™-故选D-法二组合法由题意知本题是一个古典概率模型试验发生包含的事件是从5张中随机地抽2张，共髭二10种结果.满足条件的事件分两种情况，一种为从135中任取两张有髭二3种结果另一种为从24中任取两张有种所以取到的两张卡片上的数字之和为偶数共有3+1=4种结果所以母故选D.105⑵从0123456789中任取七个不同的数，共有种不同的取法.当这七个数的中位数是6时应该有3个比6小的数还有3个比6大的数，因此一共有底•瑞种不同的取法故所求概率P二军啰二黑二J1ZU6⑶从10件产品中取4件共有C%种取法取到1件次品的取法有屐G种，由古典概型概率计算公式得P二萼二鬻答案1D2i316L0®在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到ABCD四个不同的岗位服务每个岗位至少有一名志愿者.⑴求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;⑶求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.解⑴记“甲、乙两人同时参力口A岗位服务”为事件Ea那么P®二慈二/即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是三.2记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E那么PE二名二白C5A410甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是PF=1-PE二卷.⑶因为有两人同时参加A岗位服务的概率P2二翳4所以仅有一人参加A岗位C5A44服务的概率P尸l-P2v.4CWD某种产品的质量以其质量指标值衡量并依据质量指标值划分等级如表:从某企业生产的这种产品中抽取200件检测后得到如图所示的频率分布直方图.
0.
03000.
02600.
02000.
01000.
00900.0025165175185195205215225235质量指标值⑴根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“
一、二等品至少要占全部产品的92%”的规定？⑵在样本中，按产品等级用分层随机抽样的方法抽取8件再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，
一、
二、三等品都有的概率.解
（1）根据抽样调查数据，
一、二等品所占比例的估计值为
0.200+
0.300+
0.260+
0.090+
0.025=
0.875由于该估计值小于
0.92故不能认为该企业生产的这种产品符合“
一、二等品至少要占全部产品的92%”的规定.⑵由频率分布直方图知，
一、
二、三等品的频率分别为
0.
3750.
50.125故在样本中用分层随机抽样的方法抽取的8件产品中一等品有3件二等品有4件三等品有1件.再从这8件产品中随机抽取4件.
一、
二、三等品都有的情形有2种
①一等品2件二等品1件三等品1件；
②一等品1件二等品2件三等品1件，C®（2019•全国n卷）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后每球交换发球权先多得2分的一方获胜该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为
0.5乙发球时甲得分的概率为
0.4各球的结果相互独立.在某局双方1010平后，甲先发球两人又打了X个球该局比赛结束.⑴求PX=2;⑵求事件“X=4且甲获胜”的概率.解1X=2就是某局双方打成1010平后两人又打了2个球该局比赛结束则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此PX=2=
0.5X
0.4+l-
0.5X1-
0.4=
0.
5.2X=4且甲获胜，就是某局双方打成1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分后两球均为甲得分.因此事件“X=4且甲获胜”的概率为[
0.5X1-
0.4+1-
0.5X
0.4]X
0.5X
0.4=
0.
1.相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响计算式为PAB二PAPB互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生计算公式为PAUB=PA+PB.展重要结论如果AbA2…An相互独立那么PA也…An二PAlP果…PAn.—标自—
1.新教材习题改编把一颗质地均匀的骰子抛掷两次观察出现的点数并记第一次出现的点数为a第二次出现的点数为b向量m二abn=l2则向量m与向量n不共线的概率是B11111A.-B.—C.—D.—6121218解析:若向量m与n共线则2a-b=0而ab的可能性情况共有6X6=36种其中符合2a二b的有12⑵436这3个，所以向量m与向量n共线的概率是从而不共线的概率是笔.故选B.36121Z1Z2019•全国I卷我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“一一”和阴爻“——，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是解析:在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n二26二64恰有3个阳爻的基本事件数为C萨20所以在所有重卦中随机取一重卦该重卦恰有3个阳爻的概率P普2故选A.6416（2021•新高考I卷）有6个相同的球分别标有数字123456从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7，则（B）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立解析:事件甲发生的概率P（甲）二；事件乙发生的概率P（乙）二；事件丙发生的概66率P（丙）二2事件丁发生的概率P（丁）=二;36366事件甲与事件丙同时发生的概率P（甲丙）=0WP（甲）P（丙），事件甲与事件丁同时发生的概率P（甲丁）4二P（甲）P（丁），36事件乙与事件丙同时发生的概率p（乙丙）二3WP（乙）P（丙），事件丙与事件丁同36时发生的概率P（丙丁）二0/p（T）p（丙）.故选B..袋中有形状、大小都相同的4个球其中1个白球，1个红球2个黄球从中一次随机摸出2个球则这2个球颜色不同的概率为.解析:基本事件共有底二6（种），设取出的两个球颜色不同为事件A.A包含的基本事件有＞5（种）.故P（A）二|.答案卷O.五一放假，甲、乙、丙去某地旅游的概率分别是占假定三人的行动相互之345间没有影响那么这段时间内至少有1人去该地旅游的概率为.解析:记事件A为“至少有1人去该地旅游”，其对立事件为Z“三人都不去该地旅游”，由独立事件的概率公式可得P（©=（「；）X（1-i）X由对立事件3455的概率公式可得p（a）=i-pa）=i-54OkJ关键能力•课堂突破（对应学生用书第178〜179页）嚏烤点一古典概型概率的计算（2021•全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行则2个0不相邻的概率为（C）A-B.-C.-D.-3535解析法一（将4个1和2个0视为完全不同的元素）4个1分别设为1AIBIC1D2个0分别设为0A0B将4个1和2个0随机排成一行有A2种排法，将1AIBIC1D排成一行有A%种排法再将0A0B插空有Ag种排法所以2个0不相邻的概率P二攀故选C.A63法二（含有相同元素的排列）将4个1和2个0安排在6个位置则选择2个位置安排0共有髭种排法;将4个1排成一行把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0共有髭种排法.所以2个0不相邻的概率故选C%3在3张卡片上分别写上3位同学的学号后再把卡片随机分给这3位同学每人1张则恰有1位学生分到写有自己学号的卡片的概率为（C）A.-B.-C.—D・一解析:法一设三位同学分别为ABC他们的学号分别为
123.用有序实数列表示三人拿到的卡片种类如132表示A同学拿到1号B同学拿到3号C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为123132213231312321共6种其中满足题意的结果有132213321共3种结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为故选C.oZ法二把卡片分给3位同学每人1张有A券6种分法，恰有1位学生分到写有自己学号卡片的方法有《二3种所以p/二台.故选C.AooZ2021•安徽合肥一模某商场进行购物摸奖活动，规则在一个封闭的纸箱中装有标号分别为12345的形状、大小都相同的五个小球每次摸奖需要同时取出两个球每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定，若第一次取出的两球号码连号，则中奖摸奖结束;若第一次未中奖则将这两个小球放回后进行第二次摸球若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为C4192341A.-B.—C.—D.—52550100解析:分两种情况第一种情况为第一次摸到连号则概率为白4，l552第二种情况对应的概率为号义上二，L5L55U所以中奖的概率为%W.故选c.
4.某校选定4名教师去3个地区支教每地至少1人，则甲、乙两人不在同一地区的概率是.解析某校选定4名教师去3个地区支教每地至少1人，基本事件总数n二笔菖・A36甲、乙两人在同一地区包含的基本事件个数m二第A:6所以甲、乙两人不在同一地区的概率是答案卷O一题后悟通求古典概型概率的步骤⑴读题理解题意.⑵判断试验结果是否为等可能事件设出所求事件A.⑶分别求出基本事件总数n与所求事件A所包含的基本事件的个数m.⑷利用公式PA二巴求出事件A的概率.n提醒:在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，既要注意它们是否是等可能的又要保证计数的一致性就是在计算基本事件数时都按排列数求或都按组合数求.度唐点三I事件的相互独立性0角度-判断事件的独立性fflO判断下列各对事件是不是相互独立事件.1甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；2容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个取出的还是白球”；⑶掷一枚质地均匀的骰子一次，”出现偶数点”与“出现3点或6点”.解1设“从甲组中选出1名男生”为事件A“从乙组中选出1名女生”为事件B则PA与PB互不影响，故二者是相互独立事件.2“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为J若这一事件发生了O则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为*可见，前一事件会不会发生对后一事件发生的概率有影响所以二者不是相互独立事件.⑶设A表示出现偶数点B表示出现3点或6点则A二{246}B二{36}AB二{6}所以PA二衿PB4PAB=i故PAB=PAPB所以二者是相互独立事件.6Z36一解题策略判断两个事件是不是相互独立的方法⑴直接法:直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概率.⑵定义法:判断PAB二PAPB是否成立.⑶转化法由事件A与事件B相互独立知A与瓦/与B彳与万也相互独立.口角度二相互独立事件的概率朝逾2020•全国I卷甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后剩余的两人继续比赛直至其中一人被淘汰;另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为⑴求甲连胜四场的概率；⑵求需要进行第五场比赛的概率；⑶求丙最终获胜的概率.解⑴甲连胜四场的概率为白.16⑵根据赛制至少需要进行四场比赛至多需要进行五场比赛.比赛四场结束共有三种情况甲连胜四场的概率为L16乙连胜四场的概率为上；16丙上场后连胜三场的概率为:，O所以需要进行第五场比赛的概率为161684⑶丙最终获胜有两种情况比赛四场结束且丙最终获胜的概率为:；O比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况胜胜负胜胜负空胜负空胜胜概率分别为白因此丙最终1688获胜的概率为:+2+立
4.o16oo16B懈题策略I求相互独立事件同时发生的概率的步骤1首先确定各事件之间是相互独立的.⑵确定这些事件可以同时发生.⑶求出每个事件的概率再求积.［针对训练］一袋中装有形状、大小都相同的5只白球3只黄球在有放回地摸球中，设A产“第一次摸得白球”，A2二“第二次摸得白球”，则事件A与不是A.相互独立事件B.不相互独立事件C.互斥事件D.对立事件解析由题意知不二”第二次摸到的不是白球”，即不二“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与不是相互独立事件.故选A.2019•全国I卷甲、乙两队进行篮球决赛采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为
0.6客场取胜的概率为
0.5且各场比赛结果相互独立则甲队以41获胜的概率是.解析:法一因为甲队以41获胜，所以第五场甲胜，而前四场甲需要胜三场输一场，则甲队的胜负情况可分为“胜胜胜负胜”“胜胜负胜胜”“胜负胜胜胜”“负胜胜胜胜”这4种.设事件A为“甲队以41获胜”，4表示第i场甲队获胜.又前五场甲队的主客场安排为“主主客客主”，所以PA二PAJ=PA5=
0.6PA3=PA4=
0.5贝ijPA=PAAA彳4A5+PAA彳3A4A5+PAiA3A4A5+P@A2A3A4A5=
0.6X
0.6X
0.5X
0.5X
0.6+
0.6X
0.6X
0.5X
0.5X
0.6+
0.6X
0.4X
0.5X
0.5X
0.6+
0.4X
0.6X
0.5X
0.5X
0.6=
0.
18.法二当甲队在前四场中有一场客场输且第五场胜时，以41获胜的概率是
0.63X
0.5X
0.5X2=
0.108;当甲队在前四场中有一场主场输且第五场胜时，以41获胜的概率是
0.4X
0.62X
0.52X2=
0.
072.综上所述，甲队以41获胜的概率为P=
0.108+
0.072=
0.
18.质量指标值mm185185m205m^205等级三等品二等品一等品。
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