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第二课时定点、定值与探索性问题CKD已知椭圆C:,+《二1a〉b0的离心率为最以原点为圆心椭圆的半短轴为半径的圆与直线x-y+V6=0相切.1求椭圆C的方程;⑵设P40AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点连接PB交椭圆C于另一点E证明直线AE与x轴相交于定点Q.⑴求椭圆C的标准方程;⑵设椭圆c的左顶点为A右顶点为B点P是椭圆上的动点且点P与点AB不重合直线PA与直线x=3相交于点S直线PB与直线x=3相交于点T求证以线段ST为直径的圆恒过定点.⑴解由题意离心率为右焦点为Fc0将x二c代入白1a2aL可得y二土纥a又过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M|MF|所以|MF|=—=|a2c_la2-b2_V3qJM—2Ja2解得a=2b=l丫2o所以椭圆c的标准方程为―+y2=L4⑵证明由1知A-20B20设直线AP的斜率为k则直线AP的方程为尸kx+2联立x=3得S35k.设Px0y0v2-代入椭圆的方程有资+用=1x°W±2整理得历二一君-4故5xg-44又k二反k二个kk‘分别为直线PAPB的斜率x0+2x0-2所以kk,二邕二-;,Xq-44所以直线PB的方程为y二七x-2-4k联立x=3得T3-2-4k所以以ST为直径的圆的方程为x-32+[y-《-表]2二夸+圭产令y=0解得x=3土£所以以线段ST为直径的圆恒过定点3土”
0.22CW已知椭圆C曝+1,过点A20B01两点.⑴求椭圆C的方程及离心率;⑵设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M直线PB与x轴交于点N求证四边形ABNM的面积为定值.⑴解:由椭圆过点A20B01知a=2b=ly
2、所以椭圆C的方程为一+y2=
1.4又c=Va2-b2=V
3.所以椭圆C的离心率e,岑a2⑵证明:设P点坐标为xoy0x00y00则就+4九=
4.由B点坐标01得直线PB方程为yT二也」x-
0.孙令y=0得X、=f-l-Jo从而|AN|=2-xn=2+^-.yo-i由A点坐标20得直线PA方程为y—0=J^X-
2.Xq-2令x=0得外二普,2-%o从而|BM|=l_yM=l+2y°x0-2=--(2+且)•(1+也)2yo-1x0-2_焉+4近+4町/0_4无0_8必)+42(冗0丫0一冗0-2%+2)_2冗0y°-2%0_4乂)+4—2无0必)一十0一20+2即四边形ABNM的面积为定值
2.CWD已知圆C:x-l2+y2=p一动圆与直线x=-;相切且与圆C外切.42⑴求动圆圆心P的轨迹T的方程;⑵若经过定点Q60的直线1与曲线T交于AB两点M是线段AB的中点,过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N试问是否存在直线1使得NA±NB若存在求出直线1的方程;若不存在请说明理由.解1设Pxy分析可知动圆的圆心不能在y轴的左侧故xNO因为动圆与直线相切且与圆C外切,所以IpcHx+辨;所以|PC|二x+l所以J%-12+产x+1化简可得y=4x.所以动圆圆心P的轨迹T的方程为y2=4x.⑵设AX1Y1Bx2y2由题意可知,当直线1与y轴垂直时,显然不符合题意故可设直线1的方程为x=my+6可得y2-4my-24=o显然△=16m2+960则露”廿
①所以Xi+x2=myi+6+my2+6=4m2+12
②因为x*2二4•4,44所以xx2=36
③假设存在Nx0y,使得启NB=O由题意可知y二中,所以y0=2m
④由N点在抛物线上可知xog4即x0=m2
⑤乂N4=x「xoy-y0-》NB二x2-x0y2-yo若NA・NB=0则xix2-x0xi+x2+xo+yiy2-yoyi+y2+羽=0把
①②③④⑤代入上式化简可得,3m4+16m2-12=0即m2+63m2-2=0所以m2=|故m=士空,所以存在直线3x+V6y-18=0或3x-机y18=0使得NA±NB.2221如图椭圆C邑+白二l(a〉b〉O)经过点P(l离心率e=1直线1的方程为x=
4.aLbL22⑴求椭圆C的方程;⑵AB是经过右焦点F的任一弦不经过点P设直线AB与直线1相交于点M记直线PAPBPM的斜率分别为Lk2k
3.问是否存在常数入,使得k】+k2二入L若存在求出入的值;若不存在请说明理由.伐+白=1,解⑴由题意得抬=工a2,3+c2=a2a2=4解得《肥=3[c2=1故椭圆C的方程为手+二
1.43⑵由题意可设直线AB的斜率为k则直线AB的方程为y二kx-1
①代入椭圆的方程并整理得4k+3x2-816+4代-3=0设AxiyiBx2y2且X1WX2WI则xi+x2=-1^-XN二
②4K।34K十J在方程
①中令x=4得点M的坐标为43k.因为AFB三点共线所以k=kAF=kBE即工「1%2-1所以k1+k2二空+咨工1-1久2-1二上+且上―+―X1~lX2~l2久1-1工2一1又k3=k--4所以ki+k2=2k3故存在常数入=2符合题意.把
①②代入到上式即可解得X=l所以直线AE与X轴相交于定点Ql
0.解题策略圆锥曲线中定点问题的两种解法1参数法:参数法解决定点问题的思路:
①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量此处设为k:
②利用条件找到k与过定点的曲线Fxy=0之间的关系得到关于k与xy的等式再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.⑵由特殊到一般法由特殊到一般法求解定点问题时常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点再证明该定点与变量无关.[针对训练]设直线l:y=kx+今与抛物线C:yMpxp0p为常数交于不同的两点MN且当时抛物线C的焦点F到直线1的距离为亭.⑴求抛物线C的标准方程;⑵过点M的直线交抛物线于另一点Q且直线MQ过点B1-1求证:直线NQ过定点.⑴解:当《时直线l:y=x+、即即-4y+p=0抛物线C的焦点F10到直线1的距离112Pl而同2遍55解得p=±
2.又P〉0所以P二2所以抛物线C的标准方程为yMx.2证明设点M4t24tN4t14tiQ44t2易知直线MNMQNQ的斜率均存在,贝IJ直线MN的斜率是kMN二若片二六,4tz-4qt+tt从而直线MN的方程是y二二一x-4t+4t即x-t+tjy+4tti=
0.t+t]同理可知MQ的方程是x-t+t2y+4tt2=0NQ的方程是x-ti+t2y+4tit2=
0.又易知点T0在直线MN上从而有4t『l即t二工点B1T在直线MQ上,从而有l~t+t2X-l+4tt2=0即1-—+t2X-D+4X—Xt2=04tl4ti化简得4tit2=-4ti+t2-l.代入NQ的方程得x-ti+t2y-4ti+t2-l=0x-l-ti+t2y+4=0所以直线NQ过定点1-
4.圜考Q定值问题0®已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上离心率等于它的一个顶点恰好是抛物线x=8V3y的焦点.⑴求椭圆C的标准方程;2已知点P-2tQ-2-tt0在椭圆C上,点AB是椭圆C上不同于PQ的两个动点,且满足NAPQ二NBPQ.试问直线AB的斜率是否为定值请说明理由.解1因为椭圆C的中心在原点焦点在X轴上22所以设椭圆的标准方程为?a〉b
0.azbL因为椭圆离心率等于它的一个顶点恰好是抛物线x2=8V3y的焦点,x2=8V^y焦点为02V3所以b=2v5e,=;a2_b=c2a2所以解得a=16b2=1222所以椭圆c的标准方程为孑+S=
1.161222⑵直线x=-2与椭圆3+5=1交点P一23Q-2-3或P-2-3Q-231612所以|PQ|=
6.设AxiyiBx2y
2.当NAPQ=NBPQ时直线PAPB斜率之和为
0.设PA斜率为k则PB斜率为-k.当P-23Q-2-3时PA的直线方程为y-3=kx+2与椭圆联立得3+4k2x2+8k2k+3x+42k+3-48=0*i、].12-16k248k所以X2二百*X「X2二病,y「y2=kxi+2+3-[-kx2+2+3]=J3+4M直线AB斜率为红叁二-x±-x22解题策略圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略⑴求代数式为定值.依题意设条件得出与代数式参数有关的等式代入代数式化简即可得出定值.⑵求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式再利用题设条件化简、变形求得.⑶求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.[针对训练]已知椭圆二lab0的焦距为2V6且过点A
21.⑴求椭圆C的方程;⑵若不经过点A的直线1:y=kx+m与C交于PQ两点且直线AP与直线AQ的斜率之和为0证明直线PQ的斜率为定值.1解因为椭圆C的焦距为2V6且过点A21所以=1,2c=2a/
6.因为a2=b2+c2解得a2=8b2=222所以椭圆C的方程为2+3=
1.oZ⑵证明设点pxbyiQx2y2贝ljyi=kxi+my2=kx2+my=kx-\-m消去yfl4k2+lx2+8kmx+4m2-8=0*则X|+X2=,
①4fcz+l4m2-8因为kpA+kAQ=0即号-马化简得xiy2+x2yi-xi+x2-2yi+y2+4=0BP2kxix2+m-l-2kxi+x2-4m+4=
0.将
①②代入得2fc4m2-8_8fcmm-l-2k4k2+14k2+1整理得2k-1m+2k-1=0所以k」或m=l-2k.2若m=l-2k可得方程(*)的一个根为2不符合题意所以直线PQ的斜率为定值该值为;.腐考点三探索性问题CWD已知椭圆C:,+寻1(a〉b〉0)的右焦点为
(10)离心率为直线1:y=kx+m与椭圆C相交于AB两点,且k0A•媪二-14⑴求椭圆的方程及^AOB的面积;⑵在椭圆上是否存在一点P使OAPB为平行四边形若存在求出|0P|的取值范围,若不存在请说明理由.解
(1)由已知c=l-4a2所以a=2所以b2=a2-c2=322所以椭圆方程为3+5=
1.43设AxiyiBx2y2y2了+京=1,y=kx+m由A0得4k-m2+30yiy2=kxi+mkx2+m=k2XiX2+kmXi+x2+m2[2:I病.241+N][3:\1+k23+4k2]二k2如T+km_的+痛3+4fc23+4k2_3m2-12k2-3+4fc2因为k°A•Lb=-=-14%1%24即2m-4k=3因为|AB|=J1+依•[%i+.2—4x621_/241+12―«3+4k2•原点0到直线y=kx+m的距离d=-^=Vl+fc2所以SAA0B=~dIABI乙241+炉3+4fc2⑵若存在平行四边形OAPB且点P在椭圆上则办二占+法设P(Xy0)则X=X|+X2=-黑,y=y1+y2二康.22由于点P在椭圆上所以子+$143从而化简得半器+产、二13+4k23+4fc2化简得4m2=3+4k
2.
①由koA-koB=-p知2m2-4k2=
3.
②4联立方程
①②知m=0故在椭圆上不存在点P使OAPB为平行四边形.解题策略.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件则可先假设条件成立再验证结论是否成立成立则存在否则不存在;若探究结论则应先求出结论的表达式再针对其表达式进行讨论往往涉及对参数的讨论..解决此类问题的一些技巧1特殊值点法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况解得所求要素的必要条件然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立.⑵核心变量的选取因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量其余变量作为辅助变量必要的时候消去.⑶核心变量的求法
①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素并进行求解.
②间接法:若无法直接求出要素则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程组,运用方程思想求解.[针对训练]已知抛物线C:y=2x2直线1:y=kx+2交抛物线C于AB两点M是AB的中点,过M作x轴的垂线交抛物线C于N点.⑴证明抛物线C在N点处的切线与AB平行;⑵是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过N点若存在求出k的值;若不存在请说明理由.⑴证明设AxiyiBx2y2把y=kx+2代入y=2x得2x2-kx-2=0所以X1+X2号x凶二-1Xn=Xm所以48因为2x1=4x所以抛物线在N点处的切线斜率为k故该切线与AB平行.⑵解:假设存在实数k使以AB为直径的圆M经过N点,则|MN|二;|AB|.由⑴知,yM=1yi+y2=1kxi+kx2+4=^-+
2.224又因为MN垂直于x轴,所以|MN|二yM-yJ叱O而IAB|=V1+fc2|xi-x2|=V1+fc2・J久1+x22-4xjx2y/1+k2•V16+k
2.所以:VTFP-716+仁学24解得k二±2所以存在实数k二±2使以AB为直径的圆M经过N点.■备选例题CSD椭圆C4+i1=lab0的离心率为手过其右焦点F与长轴垂直的直线与azb12椭圆在第一象限相交于点M|MF|三.。