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主题一预备知识第一章集合与常用逻辑用语、不等式第1节集合例课程标准要求.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题..理解集合包含与相等的含义能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义..1理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集；⑵理解在给定集合中一个子集的补集的含义会求给定子集的补集；⑶能使用维恩图表达集合的基本关系及集合的基本运算体会图形对理解抽象内知识梳理
1.集合及其表示方法⑴集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.⑵元素与集合的关系是属于或丕医工，用符号£和表示.3集合的表示方法:列举法、描述法、维恩图法.⑷常见数集的记法I#疑I图表中所列举的字母符号均是集合的形式不要加｛｝这是因为｛R｝不是实数集它表示一个集合该集合中只有一个元素R.3因为集合A={x|xa}B={x|lgx20}所以由题意得B={x|xel}因为AUB=R所以a^l.所以实数a的取值范围是［1+-.故选B.解题策略求解含参数的集合运算问题主要有以下方法1涉及离散的集合运算求参数要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.⑵与集合的运算性质有关的集合运算要注意将运算性质转化为集合之间的关系.⑶涉及与连续的数集有关的集合运算要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式组，此时要注意集合端点的取值.幅度三抽象集合的运算2021•江苏、福建等八省高三联合模拟已知MN均为R的子集，且rMN则MUGN等于A.0B.MC.ND.R2021•百校联盟高三联考已知全集为U且PQ为U的子集PA而二P则0门出等于A.0B.PC.QD.U解析⑴法一因为rMN所以MrN所以MUrN二M.故选B.法二如图，由？rMN易知murn=m.2由题意可知全集为UPQ为U的子集，且pnGQ）二p如图所示可得QcuP=Q.故选c.解题策略涉及抽象集合的运算问题可利用集合的包含关系或者画出维恩图结合维恩图求解.［针对训练］（2021•河南新乡高三一模）已知集合A={a1-20B={2\a+b}若AAB={-1}则b等于（）A.-1B.-2C.0D.1解析:因为AAB={—1}所以一1£A—1£B.又a=-l或a~2=-l且a^a-2^0得a=l因为2a0所以a+b=-l即b=-
2.故选B.2021•山东滨州高三二模设全集U={-3-2023}A={-33}B={x|x-3x-2=0}则图中阴影部分所表示的集合为A.{-323}B.{-3-202}C.{3}D.{-20}解析因为B={x|x-3x-2=0}={23}A={-33}所以AUB={-323}又全集U={-3-2023}所以图中阴影部分所表示的集合为uAUB={-20}.故选D.
3.若集合M={xy|3x-y=0}N={xy|x2+y2=0}，贝若A.MnN=MB.MUN=MC.MUN=ND.MAN=0解析:因为集合M={xy|3x-y=0}N={xy|x2+y2=0}={00因为127yr°n所以MCN={00}二N所以MUN二M.故U+y=0ly=5选B.2021•江苏连云港高三联考若非空且互不相等的集合MNP满足:MAN=MNUP二P贝ljMUP等于A.0B.MC.ND.P解析:由MGN二M可得MNNUP=P可得NP.故MP.因此MUP=P.故选D.■备选例题CBD2021・湖北武汉模拟已知全集U={x£N|0〈x8}An出={12}uAUB={56}BAGA二{47}则集合人为A.124}B.{1271C.{123}D.{1247}解析:U={1234567}根据题意得到如图所示的维恩图，所以A二{123}.故选C.0®2021・山东潍坊三模已知全集U二{12345}集合A二口，2}B二{34}则集合⑸等于A.uAABB.uAALBC.uAUBD.uBUA解析:AUB={1234}则uAUB={5}故选项A正确;lA={345}出二{125}所以uAULB={12345}故选项B错误;uA={345}所以lAUB={345}故选项C错误;uB={l25}所以uBUA二口，25}故选项D错误.故选A.X2021•福建厦门高三二模已知集合A二{la}B={x|log2X〈l}且AAB有2个子集则实数a的取值范围为A.-8o]B.01U12]C.[2+8D.-8o]U[2+8解析由题意得B二{x|log2xl}=02因为AGB有2个子集所以AnB中的元素个数为
1.因为AGB所以aAGB即aB所以aWO或aN2即实数a的取值范围为-8o]U[2+
8.故选D.C®2021•陕西西安中学高考模拟集合A={x|x-l或xN3}B二{x|ax+lWO}若BA则实数a的取值范围是A.[二13B.[A1]3c.-°°-1U[0+8D.K0U01解析由题知BA
①当B二o时，即ax+l0无解此时a=0满足题意.
②当BW时，即ax+IWO有解当a0时可得xW」，aa0要使BA则需要1/1解得一一T，当a〈0时，可得x，」，afa01要使BA则需要解得—Wa〈
0.r;-33综上实数a的取值范围是［
31.故选A.kJC®D多选题2021•江苏徐州高三期末对任意ABR记A㊉B二{x|x£AUBxAnB}并称A㊉B为集合AB的对称差.例如，若A={123}B={234}则A㊉B={14}下列命题中为真命题的是A.若ABR且A㊉B=B则A=0B.若ABR且A㊉B=o则A=BC.若ABR且A㊉BA贝I」ABD.存在ABR使得A㊉B=rA㊉rB解析:对于A选项，因为A㊉B=B所以B={x|xeAUBxAAB}所以AB且B中的元素不能出现在AAB中，因此A二o即选项A正确；对于B选项，因为A㊉B=o所以0二{x|x£AUBxAAB}即AUB与APB是相同的，所以A二B即选项B正确；对于C选项，因为A㊉BA所以{x|x£AUBxAAB}A所以BA即选项C错误；对于D选项，设A={x|x2}B={x|xl}贝ijAUB=RAAB={x|Kx2}所以A㊉B={x|xW1或x22}又rA={x|x22}RB={x|xWl}rAUrB={x|xW1或xN2}rAnrB二所以rA㊉rB={x|xWl或x22}因此A㊉B二rA㊉？rB即选项D正确.故选ABD.
2.集合的基本关系■释疑I
（1）AB包含两层含义:AB或A=B.⑵是任何集合的子集是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的重要性质⑴AAA=AAA0二0AAB=BCA.2AUA=AAU0=AAUB=BUA.⑶AAuA=0AUtA=UuuA=A.国重要结论对于有限集合A其元素个数为n则集合A的子集个数为21真子集个数为2匕1非空真子集个数为2n-
2.ABAnB=AAUB=BuBuA以及AH出二0两两等价.%anb二lauGbuaub=lanlb.—「对点自洌修—.2021•新高考I卷设集合A={x|-2〈x〈4}B={2345}则人08等于BA.{2}B.{23}C.{34}D.{234}解析由2£A3£A4A5A可得AAB={23}.故选B..新教材习题改编已知全集U={123456}集合P={135}Q={124}则uPUQ等于CA.{1}B.{35}C.{1246}D.{12345}解析根据补集的运算得？出二{246}所以LPUQ4246}U{124}二{1246}.故选C..已知集合A二口，256}B={5X}若BA则X可以取的值为DA.12B.16C.26D.126解析由BA和集合元素的互异性可知X可以取的值为
126.故选D..2021•云南昆明一中高三月考已知集合A={xy|x-y=0}B={xy|-2x+y=3}，贝1JAGB等于CA.-3-3B.33C.{-3-3}D.{33}解析联立方程组产，Q解得x=-3y=-3所以ADB={-3一2%+y=3-3}.故选C.
5.已知集合A二{x£N|y二三£Z}则列举法表示集合A二，集合A的真子集x+3有个.？解析因为y二三£Z且x£N所以x=0或1或3或9所以列举法表示集合A为x+30139}所以集合A的真子集个数为24-1=
15.答案{0139}15关键能力•课堂突破美点.实四翼感考点=I集合的概念与表示方法
1.多选题下列各个说法中，正确的是CDA.高三1班所有高个子的同学可以组成一个集合B.若m£Nn£N且mWn贝ljm+n的最小值为2C.四个集合{x|x=l}{y|y-l2=0}{x=l}{1}所表示的含义不完全相同D.若{x|x+ax+b=x}二{1}则a=-lb=12021•四省名校高三联考已知集合A={xy|yW后宏xy£N}则集合A中元素的个数为BA.3B.4C.5D.6解析由已知可得满足条件的点有00011011共4个，所以集合A中的元素共有4个.故选B.2021•河北石家庄模拟已知集合A={0a+b，m，B={01-bl}ab£R若A二Bb则a+2b等于DA.-2B.2C.-C.-1D.1a+b=l~b解析:因为A迅
①当±=i时，lb解得a=b=-所以a+2b=l.3a+b=1
②当g=「b时，lb解得《=此时A二{010}与集合中元素的互异性矛盾.to=1综上a+2b=l.故选D.已知集合A二{1234}B={xy|x£Ay£Ay-x£A}则集合B中的元素的个数为CA.4B.5C.6D.7解析因为集合A={1234}B={xy|x£Ay£Ay-xGA所以当x=l时y=2或y=3或y=4当x=2时y=3或y=4当x=3时y=4所以集合B中的元素个数为
6.故选C.
5.已知集合A={a+2a+l2a+3a+3}若1£A则2023a的值为.解析:
①若a+2=l即a=-l贝iJa+l2=0a2+3a+3=l不满足集合中元素的互异性；
②若a+l2=l贝！Ja=-2或a=0当a=-2时则a+2=0a2+3a+3=l不满足集合中元素的互异性；当a=0时则a+2=2a2+3a+3=3满足题意；
③若a2+3a+3=l则a=-l或-2由
①②可知均不满足集合中元素的互异性.综上实数a的值为0故2023a的值为
1.答案1题后悟通.求解描述法表示的集合问题首先要明确组成集合的元素以及元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性..求解集合相等问题要注意分类讨论以及集合中元素性质的应用.岐用点口集合的基本关系2021•山东潍坊高三联考已知集合A二{-101}B={xy|xEAyGA-eyN}则集合B的子集个数为DA.4B.8C.13D.16解析因为x£Ay£A-GN所以满足条件的有序实数对为y-1-10-
10111.由于集合B中含有4个元素，因此集合B的子集个数为24=
16.故选D.（2021•江西重点中学协作体模拟）已知集合A={xNVx-60}若BA则B可以是（D）A.{x|-2x0}B.{x|x6}C.{x|x-l}D.{x|0x2}解析因为x2-5x-60所以所以A={x|-lx6}因为BA则B可以为{x|0〈x〈2}.故选D.
3.设集合M={xIx=*kGZ}N={x|x=衿k£Z}则（B）3663A.忙NB.MNC.NMD.无法确定解析:由集合M二{x|x今;k£Z}得36X^+尹宇分子是奇数，366由集合N={x|x=^+|k£Z}得63号分子可以是奇数也可以是偶数则MN.故选B.
6364.已知集合A二{x|-1WxW3}集合B={x|1-mWxWl+m}.若BA则m的取值范围是（A）A.（-oo2]B.[-13]C.[-31]D.
[02]解析当m^O时要满足BA只需丁解得0Wn）W2;当m0时，11+m3所以此时B=0满足BA.综上m的取值范围为mW
2.故选A.♦题后悟通.判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合只需要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系对于用描述法表示的集合要从所含元素的特征来分析若集合之间可以统一形式则需要统一形式后判断..已知两个集合间的关系求参数时关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、维恩图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证否则易增解或漏解.H用点三集合的基本运算憔度-给定具体集合的基本运算（2021•广东深圳高三二模）已知A二{x£N|x7}B={568}则集合AUB中的元素的个数为（）A.7B.8C.9D.10（2021・安徽合肥高三三模）已知全集U=R集合A={12345}B={-2012）之间关系的维恩图如图所示则图中阴影部分表示的集合为（）A.{-20}B.{-2}C.{-201}D.{-2021}解析1由A二析£N|x7}可知A={0123456}结合B={5678}因此AUB二{012345678}共9个元素.故选C.2由题意画出维恩图，如图所示，则阴影部分的集合为{-20}.故选A.解题策略.进行集合运算时首先看集合能否化简，能化简的先化简再研究其关系并进行运算..涉及与集合的补集有关的集合运算问题要求出补集后再求解..由维恩图给出的集合运算问题首先将维恩图转化为集合之间的运算关系后再求解..若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的集合交集问题，可以利用解方程组的方法求解涉及点集时也可以利用列举法求解.口角度二含参数的集合运算的后12021•广东江门高三调研已知集合A二{12}B={ab}若AAB二0}贝l」AUB等于A.{11}B.C.{-11；}D.{b1i}2021•宁夏高三联考已知集合上{1的@＞仁}1={-101}若人1^3则A中元素的和为A.0B.1C.2D.-12021・安徽示范高中高考模拟若集合A={x|x〈a}B={x|lgx》0}且满足AUB二R则实数a的取值范围是A.1+8B.[1+8C.0+8D.[0+8解析⑴因为集合A二{12}且AAB二百，所以2』解得a-1则b」.222所以AUB={-11}.故选C.2因为AUB=B所以AB所以1=0则a=0所以A二{10}因此集合A中元素的和为0+1=
1.故选B.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN或N*ZQR关系自然语言符号语言维恩图子集如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素那么集合A称为集合B的子集（即若x£A贝l」x£B）AB或BA©或真子集如果集合A是集合B的子集并且B中至少有一个元素不属于A那么集合A称为集合B的真子集AB或BA*集合相等组成S的元素与组成T的元素完全相同，ST且TSS二T运算自然语言符号语言维恩图交集给定两个集合AB由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合称为A与B的交集记作AABAAB二{xx£A且x£B}ACyB并集给定两个集合AB由这两个集合的所有元素组成的集合称为A与B的并集记作AUBAUB={xx£A或x£B}AUB补集如果集合A是全集U的一个子集.则由UuA二中不属于A的所有元素组成的集合称为A在U中的补集记作维{xx£U且xA}。
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