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【基础】基本不等式练习
一、单选题
4.若x0贝IJ2—3x——xA.有最大值2—46B.有最小值2—46C.有最大值2+46D.有最小值2+
46.已知无2则一小/Y的最大值为A.2B.4C.5D.
6.已知且—1=4则a+b的最小值为A.3B.4C.5D.
6.某药店有一架不准确的天平其两臂不等和一个10克的祛码.一名患者想要20克中药，售货员将祛码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将祛码放在右盘中，待平衡后再交给患者.设两次称量后患者实际得到药物为加克，则下列结论正确的是？？.
41.已知正实数满足--+—=1则a+2b的最小值为？？？？a+bb+\A.6B.8C.10D.
12.已知实数xy满足f+V=2那么外的最大值为A.-B.C.1D.
242.已知实数q0b0且满足a-2-2=0则〃+l2的最小值为A.24B.3V17+13C.90+13D.
25.若实数满足x9y03xy-x-y-l=09则冲的最小值为A.1B.2C.3D.
4.已知1bl记用=+_1N=I，则〃与N的大小关系为abyjabA.MNB.M=NC.MND.不确定
18.设正实数、I满足〃+b=l则下列说法错误的是A.而有最大值;B.一二有最小值3C./+〃有最小值;D.6+VF有最大值血参考答案与试题解析A【分析】直接根据基本不等式求解即可.4/
4、【详解】解V2-3x—=2-3x+—x（x）Xx0/.3x+-4V3当且仅当3x=±即x=2百时等号成立x九
3...2-|3x+-|2-4/3当且仅当x=时等号成立，故选A.A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为vxv2所以可得4-Y〉，则y=x\l4-x2=J*.（巧（-1=2»当且仅当f=4--即工=夜时，上式取得等号，y=Xy]4-X2的最大值为
2.故选A.C44【解析】依题意可得〃=[二，则〃+〃=+/；再利用基本不等式计算可得；Z-lb-i4【详解】解因为0）1且々S—1）=4所以a=所以b-\44f-4〃+人=1^+人=1^+伍-1）+122加1（力-1）+1=54当且仅当丁匚=人-1即b=3=2时取等号；b-1所以Q+b的最小值为5故选C【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件“一正二定三相等不一正”就是各项必须为正数；“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4.A【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，且bw入设第一次第二次分别称得的中药为x克，丁克，根据杠杆原理即可得出等量关系，进而结合均值不等式即可求出结果.【详解】设天平的左臂长为匕，右臂长为，且bw，设第一次第二次分别称得的中药为工克y克，则7inIIH10Z106/110b10acc、1，口、1，1人10〃pin7riAyr10b=xayb=10a从而m=1+=+2=20当且仅当即q=Z时，等ab\abab号成立，由于bwa所以〃2〉20故选A.D3ab=_3_dIdI41【分析】先化简〃+必一41由一+;=（+与（一+二），结合基本不等式，求得一+不9进而求得一+工ahabcibab_3苦；=『的最大值.+4Z—+—ab3ab_3_3【详解】由，可得〃+4日一〃+4b-41-I—abab又由”+人=1rTW—+—=（«+b）（—+—）=5+—+—5+
2.1—x—=9ababab\ab4ha21当且仅当竺=£时，即〃=彳力=时，等号成立，ab3333_1所以口即*的最大值为!—+-Q+4〃3ab故选D.B（]9）hOz/【分析】根据题意，化简得到（+3~=6+-+-（，+3=6（+3+10+—+丁，结合基本不等式，即可VabJab求解.（1OAh9/7【详解】由题意，可得（+与=6+—+:（，+冲=6（+3+10+—+丁26（+»+
16、ab）ab则有（Q+b『-6（4z+Z）-160角牟得a+〃28当且仅当=2b=6取至【J最小值
8.故选B.D【分析】对方程变形，再利用基本不等式进行求解.2【详解】（“-2）9-1）=3整理为2=5+2（4+2）），由基本不等式得2上+
2.）即2425+2（a+2b）«（+j），解得a+2b\0^a+2b-2由于0力0所以+力V—2舍去，从而a+2b的最小值是10故选DC【分析】由结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.【详解】解对于选项A因为〉人0，，而的正负不确定，故A错误；ab对于选项B因为a〉b〉0所以故b错误；对于选项C依题意所以〃一Z0^y0所以一/+^—22j（a—Z）x^—=2故C正a-ba-bVa-b确；对于选项，因为人0-16-1〉-1一二与正负不确定，故大小不确定，故D错误；a-\b-l故选C.B【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】由xl贝所以x+—^=x-l+—^+122岳-1）.—^+1=3x-1x-1VX-1当且仅当工=2时，取等号，故选B【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.D【分析】整理1）=1得出5+（=1进而得a+4b=（“+43（!+）结合基本不等式即可.【详解】因为1=1所以/一々一人=0所以，+=1ab=1+4+—+-5+2a/4=9ab4hci当且仅当竺=f即，=2b=3时等式成立ab故选D.B【解析】取x0可判断
①的正误；利用基本不等式可判断
②③④的正误.【详解】对于
①，当x0时，y=x^-0
①错误；对于
②，若，且0说明2，y0则2+屋2已闫=2当且仅当时取等号，abah\ab显然成立，
②正确；对于
③，y—J/+3+/N2y/x2+3x/=2G+3\G+3当且仅4rK=时取等号，即丁+3=1显然这样的x不存在，所以结论不正确，
③错误；Vx2+3对于
④，因为x，所以3x+324百，x函数y=2-3x-3尤0的最大值为2-4百，所以结论不正确，
④错误.X故选B.【点睛】易错点睛利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件“一正二定三相等一正”就是各项必须为正数；“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.C【分析】利用作差法判断A利用不等式的性质判断B利用基本不等式判断C利用绝对值的概念判断D.【详解】•/6ZZ
0.a2-b2=a-ba+b0故A正确；由qv/v得abb2故B正确；ab0/.0—1—1—F—2故C错误；ababah09:.a—b=—a+b=ci—b故D正确.故选C.B一41【分析】令a+2Z=a+〃+〃+l—1用4+++1分另I」乘-=1两边再用均值不等式求解即可.a+bZ+l41【详解】因为一-+—=1且/为正实数a+bZ+l所以a+2方+1294+
328.故选B.C【分析】根据重要不等式V+y222P即可求最值，注意等号成立条件.【详解】由/+丁2=222町，可得犯当且仅当x=y=l或x=y=-1时等号成立.故选C.D【分析】根据等式必-，-2-2=0表示出4求出的范围，然后将（什1）（什2）中的人消去，再利用基本不等式可求出（〃+1）（什2）的最小值.【详解】因为必-2=0所以人=1，又＞0b＞0a-2所以”|＞，解得＞2a-2_a+2[4又b=-=I+ci—2—2所以（〃+1）（b+2）=出+2〃+/+2—+2/+2+2+/+2—3+3/？+4=3+I2+7=3（q-2）+I2+13—2—2＞2^3（«-2）-^^+13=2512当且仅当3（〃-2）=一^即〃=4时等号成立，a-2即（+1）（/汁2）的最小值为
25.故选D.A【分析】根据基本不等式可求犯的最小值.【详解】因为3邛—九—y—1=，所以3外一l=x+y由基本不等式可得3冲-l=x+y22JH，故3移一21百一120解得或5百4-；（舍），即孙21当且仅当工=），=1时等号成立，故冲的最小值为1故选A.A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为＞1力＞1所以M=-^-=巴士2＞纽当且仅当取等号abababab而2而21浦而=-j=＞-n==Nabyjabvab故选A.B【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】因为正实数、〃满足〃+〃=
1.对于A选项，由基本不等式可得点忘彳=；当且仅当〃=人=；时，等号成立，A选项正确;乙乙乙对于B选项，由基本不等式可得F--——=牙〃+2/7+2i+ba+2h2a+h3LV7当且仅当时，等号成立，B选项错误;对于C选项，，所以，，当且仅当时，等号成立，C选项正确;对于D选项，，则，当且仅当时，等号成立，D选项正确.故选B.。
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