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第1章随机事件及其概率第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量XY的所有可能取值为至多可列且事1,称P{XYxy}pij12-ij为=XY的分布律或称为X和Y的联合分布律.联这里Pg具有下面两个性质:Pu第四章随机变量的数字特征QL2…n第二章随机变量及其分布设是随机变量x的分布函数,若存在非负函数,对任意实数则称X为连续型随机变量f称为X的概率密度函数或密度函数Olofxdxfxdx
12214、Px=a=0a为常数,连续型随机变量取个别值的概率为0
(1)随机试验和随机如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合.通常用大ABC…表示事件,它们是的子集为必然事件,0为小可能事件.不可能事件(⑷的概率为零,而概率为零的事件小一定是小可能事件;同理,必然事件()的概率为1而概率为1的事件也不一定是必然事件.⑶事件的关如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分(A发生必有事件B妙)ABBAABAB则称事件与事件等价,或称等于r\-DOAsB中至少有一个发生的事件ABAB_者+Q\12yj11112P】JX22122P2J••••*xiPilp..1J••*••XY如果存在非负函数使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域即口={XY|axbc〈yvd}有D则称为连续型随机向量;并称fxy为=XYfxy0;fxydxdy
1.2联合设XY为二维随机变量,对于任意实数xy二元函数FxyP{X苏丫y}称为二维随机向量XY的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件{|XxYy}的概率为函数值的一个实值函数.1212分布函数Fxy具有以下的基本性质当X〉X]时,有Fx2yNFx〃y;当y2〉无时,有Fx21FFyFaQFL12112i2FxyFxyFyFxy222112111•iJ.L2…jPiJiUfxXfyYX=x1PYy|Xx匕;jiP丫=可Pxx|Yy4」Pfx|yYfylxafxXXY离散型连续型fXy=fxfyAT
②正概率密度区间为矩形1—4——2——?fxy.e11222Jl2,12随机变若XX....XX....X相互独立,hg为连
12.mm+1nhXfX...X和9Xj…X相互独立inmm+in特例若X与Y独立,则:hX和gY独立例如若X与Y独立,贝!|3X+1和5Y—2独立1Da其中Sd为区域D的面枳,则称XY服从D上的均匀分布,记为XY~UD.图
3.2]—J——2j—r——fxye212]1zz2Jl2]20是5个参数,则称XY服从二维正态分1]20||1,,,♦12由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍2,Y、N.1122YNXY未必是二维正态分布.11ZZ12n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布22iiiiii12Xn相互独立,其分布函数分别为12nFxFxFxX…XJ的分XnFxFx•Fx•••Fxmax%Fx1[1Fx[lFx]...[lFx]minxix2xn设X是离散型随机XxkkEXxpkkk1设X是连续型随机变量,其概率密EXxfxdxnkkk1E2Jkk:DX[xEX]2fxdxEX+Y=EX+EYiiiii1i1EXY=EXEY充分条件X和Y独立;充要条件X和Y不相关⑶方1DC=0;EC=C22225DX±Y=DX+DY充分条件X和Y独立;充要条件X和Y不相关DX±Y=DX+DY±2E[X—EXY^-EY]f无条件成立而EX+Y=EX+EY无条件成立.BLppipBnpnpnplp2—2_1N2nii・i1nJJ1xfxdxEXxYiJiJ--iiei2PjjDX[xEX]2fxdxX2XY11与记号相对应,XXY别记为与XXYY为X与XY与Y的方差DX与DY也可分相关对于随机变量X与Y如果DX0DY0则称XX11«1当||=1时,称X与Y完全相关:完全相关正相关,当1时a0负相关,当时300XY1212相关XY,,2,2,1212则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关.属于A而不属于的部分所构成的事件,称为八与口AD八ADA2B的差,记为A-B,A-AB-AB或者、r它表示发生而不发生的事件.AsB人08/断者人8人08=则表示人与8不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥基本事件是互不相容的.■A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为丁它表示A不发生的事件互斥未必对立.结合率ABC=ABCAUBUC=AUBUC分配率ABUC=AUCCIBUCAUBClC=ACUBC德摩根率।।——--——--设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数PAAA12u1111A1°♦•・12ni/P()PP-1
(2)...(n)nA…组成的,则有12mP(A)=()u()u-U()=h()P()...()12m12nm若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型.对任一事件A⑺加法公式PA+B=PA+PB—PAB当AB不相容PAB=0时PA+B=PA+PB当AB独立,PAB=PAPBPA+B=PA+PB—PAPB当BA时,PA—B=PA-PB定义设A、B是两个事件,且PA0则称为事件A发生条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率更一般地,对事件AjA尸・.A若PAA...AJ0则有12nn-12…APA1PA2A1PA3|A.A;n-PwI™,则称事件「口是相互独立的AB若事件A、B相互独立,且pA0,则有PAPA若事件、相互独立,则可得到K与、与IT、K与B也都相互PAB=PAPB;PBC=PBPC;PCA=PCPA122PB0i
12...n,AUPAPBPA|BPBPA|B…PBnPA|Bn全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题,全概率公式的题型将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;12°1122°.则injJJ1nif*•••9n通常称为后验概率.贝叶斯公式反映了〃因果”的概率规律,并作出了〃由果朔因”的推断将试验可看成分为两步做,如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式nAAnA♦每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发npATVP/k表nAk0knPkckPQ・nk1离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xkk=l2…且取各个值的概率,即事件X=XJ的概率为PX=x=pk=l2,…,KKK则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律.有时也用分X12kPXxP”厂.,pO…pk012…,2P「Kkk1XxPaXbFbFa可以得到X落入区间gb]的概率分布函0Fx1x;是单调不减的函数,即XX时,有1212FFXXFx0FxFxPXxFxFx0Fx;PkxkxFxXfxdx・分布二项分在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p事件A发生XXPXkPkCkpkqq1p0p1k0L2…n»nn则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布记为X〜Bnpn111这就是0-1分布,所k以0一D分布是二项分布的特例泊松分设随机变量X的分布律为PXk—e0kQl2k!Xx或者〜设随机变量x的值只落在口,b]内,其密度函数在[aaWxWb则称随机变量x在[ab]上服从均匀分布,记为X〜Ua0xaaWxWbFx*fxdxI1xbo当aw%〈x尸b时,X落在区间内的概率为1212—31210,其中0则称随机变量X服从参数为的指数分布X1Y-巴x、的正态分布或高斯Gauss分布,记为Xf厂2X21ei2dt0时的正态分布称为标准正态分布,记为11苴1X工是卷可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用.0-x=1—Px且Q0=j_oX2NQ1PxXx-4127函数的分布离散型XX少飞…,Xn,…YPIb向明既Hy,gx互不相等如下若有某宓P相等则应将对应的D相加作为的概率先利用x的概率密度fxx写出Y的分布函数Fyy=Pgxy再利用变上卜限积分的求导公式求出fyq。