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第1章随机事件及其概率第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量XY的所有可能取值为至多可列个有序对xy则称为离散型随机量设二XY的所有可能取值为xyij12且事件{=xy}的概率为pijijij«为二XY的分布律或称为X和Y的联合分布律P4离散型与连续型的关系设随机向量XY的分布密度函数为其中,Q01I1是5个参数,则称XY服从二维112记为XY〜N2212由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即X〜N2Y~N11XY未必是二维正态分布11第四章随机变量的数字特征第二章随机变量及其分布1排列组合公式n从m个人中挑出n个人进行排列的可能数Cn―里—从m个人中挑出n个人进行组合的可能数m⑵加法和乘法原理某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成乘法原理两个步骤分别不能完成这件事mXn某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,则这件事可由mXn种方法来完成3一些常见排列4随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件卜可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验5基本在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事4分设X为随机变量,x是任意实数,则函数PaXbFbFa可以得到X落入区间ab]的概率分布分布函数具有如下性质1°X;2°Fx是单调不减的函数,即xM,有FxFx;XX4°Fx0Fx即Fx是右连续的;5°PXxFxFx0okxkxnApA在重贝努里试验中,设事件发生的概率为事件发X...QUn°PXkPkCkpkq中nnq1ftOplkQL2…nX服从参数为np的二项分布记为当时,PXkpkqik这就是0-1分n1k
0.1设随机变量x的分布律为kTT则称随机变量x服从参数为的泊松分布,记为X〜或者Po泊松分布为二项分布的极限分布np二人,nf8PXkqkipkL23…,其中P20q二『P设随机变量X的值只落在[a.b]内其密度函数fx在[a.11,aWxWb0其他则称随机变量X在[ab]上服从均匀分布,记为X、UaFx*fxdx当aWxVxWb时,X落在区间XjX.内的概率为PxXxi--12ba0其中,则称随机变量X服从参数为的指数分布Fxv正态分布设随机变量X的密度函数为1——0人美巴八工-一力量数,则称愿极变量5服从参数为、的正态分布或局斯Gauss芬希,记才2的图形是关于x对称的;2当x时,f为最大值;V2参数兀一X京辐iE态分布称为标准正态分布.记为X~NQ11一1e2x1-VT是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用
①-x=1一
①x且
①0=—o2如果x~N,贝IJ_-^NQ1OXPXXX-Hi-H12PX=;上分位表Px=X12nPXxYgX白YPfP%…,、勺分布列ygx互不相等如下ii12ni12n/、的概1gx,》•=〃{Yr}=心J/vvZv利用y=#xtkj分布函数与密度函数之间的关系求Y=«xX向楙度函数先利用X的概率密度fx写出Y的分布函数Fy=YPgXWy再利用变上下限积分的求导公式求出fyoY
1、ayfl.1=1°共包X.Y如果存在非负函数「/\\1人八」1:TVXI-*fxyxy边分别平行于坐标轴的矩形区域D即D={XYaxbcyd有则称为连续型随机向量;并称fxy为:XY2二维随机变量的本质称为二维随机向量xY的分布函数,或称为随机变量X和Y的分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件{1XxYy}的概率为函数值的一个实212Fxy分别对x和y是非减的,即当Xx时有Fxy2Fxy;当yy时有Fxy2Fxy;IIFxy分别对x和y是右连续的,即1212PxxW122211211PPXxi・iJPPYyjiX二XiY=yj在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为fx|y在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为性
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合通常用…表示事件,它们是的子集为必然事件,?为不可能事件不可能事件(力的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Q)的概率为1而概率为1的事件也不一定是必然事件
(6)事件的关系与、-Ar£r运算BAB如果事件A的组成部分也是事件的组成部分,(发生必有事件理AB如果同时有ABBA则称事件A与事件B等价,或称A等于A、B中至少有一个发生的事件ABAB或者+oABA与B的差,记为a.b1属于而不属于的部分所构成的事件一称为J
②正概率密度区间为矩形随机变量若XX…XX,…X相互独立,hg为连续函数,则:hXX…X和gX,…X相互独立■1*-1特例若X与Y独立,贝IJ hX和gY独立例如若X与Y独立,则3X+1和5Y-2独立FzPZzPXYzzfxzxdx两个独立的正态分布的和仍为正态分布2121n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布22iiiiiix2…n相互独立,其分布函数分别为…则Z=maxminXX…X的分FxxF\x征离散型连续型设X是离散型随机变量,其分布律为PXx=k设X是连续型随机变量,其概率密度为fx函数的期望nniiiii1质DaX+b=aDX;EaX+b=aEX+bDX=EX-EX2DX±Y=DX+DY±2E[X-EXY-EY]无条件成而EX+Y=EX+EY无条件成立期望P二项分布泊松分布几何分布Gp超几何分布HnMN均匀分布指数分布正态分布N2随机函数的期望对于随机变量X与Y称它们的二阶混合中心矩]]为X与Y的协方差或相关矩,记为,或covXY即A1与记号相对应,x与Y的方差DX与DY也可分XY相关系数对于随机变量X与Y如果DX0DY0则称为X与Y的相关系数,记作有时可简记为0XY1W1当11=1时,称X与Y完全相关PXaYb1正相关,当时,以下五个命题是等价的0;XY性质covX+XY=covXY+covXY;covXY=EXY-EXEY.7i若随机变量X与Y相互独立,则0;反之不真221212则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关A-AB-AB也可表示为‘或者AB它表示发生而不发生的事件nn同时发生或者AB=,则表不A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥基本事件是互不相容的-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为;;它表示结合率ABC=ABCAUBUC=AUBUC分配率ABUC=AUCnBUCAUBPC=ACUBC11—————unnuABABABAB7概率的公理化定义AA设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数3°对于•两两互不相容的事件AuA…有常称为可列完全可加性⑻古典概型1°…12n2°PP-P-o12nn设任一事件A它是由,…组成的,则有12mPA=UU-U=pp…p12m12m⑼几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型对任一事件APA+B=PA+PB-PAB当A二Q时,PQ=1—PB12条定义设A、B是两个事件,且PA〉O则称为事件A发生条PA件下,事件B发生的条件概率,记为P(B/A)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率例如P(Q/B)=1P(彳/A)=1-P(B/A)2APAPA2|A^PCAJAA2nAP(AB)P(A)P(B)则称事件A、R是相互AB若事件相互独立,且P(A)°AB若事件A、b相互独立,则可得到;与b、a与〉;与;也都与任何事件都互斥设ABC是二个事件,如果满足两两独立的条件,PAB=PAPB;PBC=PBPC;PCA=PCPA并且同时满足PABC=PAPBPC那么A、B、C相互独立122nPB06L2…nJ1PAPBPA|BPBPA|B…PBnPA|B全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题,全概率公式的题型将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;设事件内及A满足10112n012・・•,nAB.2°1乙ii则PB/Aiinjj1此公式即为贝叶斯公式
2.511n通常称为后验概率贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断将试验可看成分为两步做,如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式每次试验只看两种可能结果,A发生或A不发生;n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验用P表示每次试验A发生的概率,则彳发生的概率为,用n重伯努利试验中A出现k°knknknn设离散型随机变量X的可能取值为Xk=l2…且取各个值的概k率即事件X=X的概率为kPX=x=pk=l2k则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律有时也用分布Y八12k•・•・•・kI2kkk1Fxx»有Fxxfxdxfx对任意实数称为X的概率密度函数或密度函数,PxlXx2Fx2Fxfxdx积分元fxdx在连续型随机变量理论中所起的作用与k卜在。