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恒成立问题中的主元变换法偏导数是高等数学中多元函数微分学里的重要概念之一.例如二元函数,=/xy其偏导数的基本求法便是对工求导时,就假定,是常数,仅对函数,=/乂,中所有变元x求导得到对y求导时,方法亦然.比如若函数/x,=xy则求导可得f;=y;f;=x.我们都知道,高中阶段很多函数问题都是含参数的,对于含参数的函数,可以将其简记为y=/xa若将参数也视为自变量的话,那么,=/%〃就是一个二元函数,那么我们就可以用偏导数的思想来研究该函数,这就产生了一个重要的方法主元法.近年来,在高考试题中,主元法思想考察的相当频繁,例如2019年浙江卷导数压轴题和2020年天津卷导数压轴题等,在这些问题中,使用主元法往往会起到意想不到的好处,从而使得整个问题得到圆满的解决.基于此,本文就通过几个典例来展示主元法的基本应用手法.主元变换在高考中最经典的例子就是2019年浙江卷导数压轴,这个题目很难,我们共赏之,从例2开始,我介绍一些具有操作性的主元变换例子.例
1.2019年浙江卷.己知实数0设函数fx=aInx+Jx+1x
0.31当二一一时,求函数/x的单调区间;42对任意X£[-L+8均有/xW立,求的取值范围.e-2a解析1当=一时,/x=-lnx+Wi函数的定义域为0+”,且、31-3/7+T+2xx-34x+3TIYI=+=_-L_L412jx+l4x/x+14x1x+13/x+l+2x,因此函数/x的单调递增区间是3y,单调递减区间是
03.2由得Oy也当也时,fx2^等价于2a442a4-2^_i£-2]nxzo令,贝卜22血,设g0二产«—2zJl+x—2Inxa-aai当xwg+8时gxg2后=86-4拒Jl+x-21nx=px25/212-\/xa/x+1—y/2X—a/xh-1x—11+yjx^y/^x4-2-1]x[x+lG+lVx+l+\f2x故pxN〃l=0满足题意.综上所述,所求的的取值范围是0注欲证不等式g/=〃五-2/J7XT-21nx之0此题以/为主元构造二次函数讨论易行,若以x为主元此题函数过于复杂,很难通过求导找到单调性与最值.上面的实例给出了一个很重要的技术手段必要性探路+主元变换,先必要性探路,得到参数范围后,我们当然也可以变换主元,从简单的视角来证明,下面回到刚考的2023届成都一诊导数压轴.例
2.2023届成都一诊已知函数/x=lno¥M
0.⑴当=1时,若曲线y=在%=1处的切线方程为广依+/九证明/3«依+/九2^fxx-\ex-af求的取值范围.解析1略;2由/lWO=awOl].\_X\fix11r”^ha=x-\ex~a-\nx-\na求导力〃=7=—l-xe*.eae[_a设sx=l-fx=JQsx=-xe*vO「.x0时,sx单调递减,sxs0=l.xr—IQ«x==e,,令x=0得x=l当Ovxvl时,《幻0«幻单调递减;当xl时xa/x/*单调递增,.rx2/l=e故”Ox0时,\-xex\e—.即〃a
0..〃〃在0”上单调递减,贝IJ0WI时,/2«/2l=x-leA--lnx.由1知,x-l^-l-lnx0故0〃Wl时,曲之
0.即工-1产工TnxNlna恒成立.下面这个例子可以看做是2019年浙江卷的弱化版,可以做练习.例3已知正实数,设函数/*=/—/Mg.⑴若『=应时求函数KO在口⑼的值域;2对任意实数xw;y均有/2底]恒成立,求实数〃的取值范围.解析1由/幻=/一2%lnx得rx=2x—l—lnx/x=21一:卜0所以/1在口㈤单调递增,rA^rl=O所以/⑶在[Le]单调递增,所以fMw口/-2e].所以/a的值域为[1/_2e].2由题意可得/⑴之,即0〃
41.事实上,当0三1时X/oyI|x*—a^xInxciy/2x—1nxInx0记t=——1设craagQ=ij—岳K_xlnx则g为关于/的二次函数,定义域为n4W其对称轴为/=4x4+\4x2=2x-2x2x.at=^2v7112x22x2gt2gl=x-,2x-1-xlnx设力x=x――--lnxx—x2当.rcAzx04递增;当xwl田,〃x0〃幻递减所以力冷由=力⑴=0即〃@之0于是有g«N0所以OvaVl.有关函数凸凹性詹森不等式背景的双变量问题也经常使用主元方法!下面我们通过例子来说明双变量中的主元方法.例
4.已知函数/x=xlnx若0a〃,试比较/幻;”份与八等的大小.解析不妨设0abf./%=xlnx+1令Fx=f〃+/x-2/巴产,贝|]尸工=工一厂£^=/加一/〃^^当0x〃时,尸0;当时,rx
0.•.尸外在0上单调增,尸在a+oo上单调减,.•.当x=a时,Fx\nin=Fa=0由〃从故fsr,则/⑹+,/交
3.例
5.设函数/X=xlnx.1求/3的极值;⑵若Ovavb证明0fa+fb-2/^^b-a\n
2.解析1函数/x=xlnx则fx=1+1nxx0令/幻=0解得x=-且当xwo3时,rao,xedy时,广幻eee因此fx的极小值为/-=--ee2构造函数Fx=alna+xbvc一a+xlnxa2✓142TF\x=1+Inx-In-1=In:.0a+x2xtF[x0Fx在a+co上是单调2a+x递增的;故尸b尸3=0即/a+/S-2/g^〉0另一方面,构造函数“+x2xxGx=alna+xlnx-[a+xln-x-aln2Gx=Inln2=In02a+xa+xGx在ay上是单调递减的,故G6Ga=0即fa+fb-2/彳[b-alnl综上,0/a+fb-2fgvS-〃加2・三.习题演练习题
1.已知函数fx=幺,gx=lnx.x1当0时,讨论函数/%二4幻一8一的单调性;x2当41时,求证axfx-gaxe-1x+
1.习题
2.已知函数/x=alnx+x+l2aw0x01求函数/力的单调区间;2对于任意x«l+8均有“X-三K0恒成立,求的取值范围.a。