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文本内容:
《正弦定理》教学设计依兰县高级中学刘丹丹
一、教材内容分析正弦定理是高中新教材必修第二册第六章第四节
6.
4.3的内容,是使学生在已有知识的基础上,通过对三角形边角关系的研究,发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系,提出实际问题,并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边角关系,从而引导学生产生探索愿望,激发学生学习的兴趣在教学过程中,要引导学生自主探究三角形的边角关系,先由特殊情况发现结论,再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题
二、教学目标
1、知识与技能1引导学生发现正弦定理的内容,探索证明正弦定理的方法2简单运用正弦定理解三角形
2、过程与方法通过对正弦定理的探究,培养学生发现数学规律的思维方法与能力;通过对定理的证明和应用,培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和和数形结合的思想方法
3、情感态度与价值观1通过对三角形边角关系的探究学习,经历数学探究活动的过程,体会由特殊到一般、再由一般到特殊的认识事物的规律,培养学生探索精神和创新意识2通过本节学习和运用实践,体会数学的科学价值、应用价值,学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值,不断提高自身的文化修养
三、学习者特征分析本节授课对象是高一学生,是在学生学习了平面向量与三角函数的基础上,由实际问题出发探索研究三角形的边角关系,得出正弦定理高一学生对此比较感兴趣,由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣使学生产生探索研究的愿望
四、教学策略与设计策略运用“发现问题一自主探究一尝试指导一合作交流”的教学模式设计整节课围绕“一切为了学生发展”的教学原则,突出师生互动共同探索,教师引导循序渐进1新课引入一提出问题,激发学生的求知欲2掌握正弦定理的推导证明一分类讨论,数形结合,由特殊到一般,组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程3例题处理一始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识4巩固练习一深化对正弦定理的理解,巩固新知
五、教学环境及资源准备教学用具电脑、多媒体
六、教学过程
1、复习回顾,提出问题引导学生复习解三角形、余弦定理及利用余弦定理解三角形的类型,引导学生探索其他类型如何求解设计意图复习回顾,提出问题,激发学生的兴趣,探究三角形的其他边角关系
2、探寻特例,提出猜想通过两个例子回顾直角三角形中的边角关系,从而猜想出正弦定理在A43C中,角45的对边分别为力G1若C=90°A=30°q=2则c=2若C=90°3=45°c=2则人=——2——2——2————所以BC=AC+AB-2ACAB所以国2=困2+囤2_2回洞cosA即a1-b2+c2-2bccosA通过学生讨论,不难发现数量积与向量夹角的余弦有关,而我们要证明的正弦定理是三角形的边与内角的正弦间的关系,因此需要引导学生找到正弦与余弦间的转换关系是利用诱导公式不妨先证明锐角三角形成立证明过点A作与A5垂直的单位向量加,-**TT-kJTm与AC的夹角为——Am与BC的夹角为——B,22所以,m-AC=mACcos^--A=ZsinA2m-BC=mBCcos—-B=asmB2所以,/sinA-7sinB=AC-m-BC=m•AC-BC=m-AB=0ah所以,bsmA=asmB即——二——sinAsinBItebc厂厂bc同理,=,所以==sinBsinCsinAsinBsinC再来证明钝角三角形也成立不妨设A为钝角,过点4作与垂直的单位向量加,-*-*■7T--77-机与AC的夹角为A——机与5C的夹角为——B22仿照锐角三角形的证明方法可证设计意图通过学生的讨论发现问题,引导学生分析出发现的问题与学过的知识的联系,进而利用所学过的知识解决问题,在探究过程中,使学生在思维过程中碰撞出火花,激发学生强烈的学习热情和探究愿望使学生体会数学中的美学价值,以及平面向量在探究平面几何问题中的强大的工具性
6、例题剖析例1在AABC中,已知4=153=45°=3+6解这个三角形解由三角形内角和定理,得C=180°—A—3=180°—15°—45=120csinA3+V3sin15°3+V3sin45°-30°a===sinCsin120°sin120°例2在AABC中,已知3=30/=2解这个三角形因为cb5=30,所以30C18°,于是=45°或C=135°_ZsinA_岳in105°_瓜in60+45当C=45°时,A=105°此时〃―sin
8.sin30°-sin30°2ZsinAV2sinl5cV2sin60-45°a===当=135°时,A=15\此时sinBsin30°sin30°V
216、2222设计意图通过对例题的分析讲解,进一步深化对正弦定理的认识和理解,掌握正弦定理在解三角形问题中的应用
7、提出问题,同学思考回答
(1)从方程的角度分析,解三角形需要已知三角形中的几个元素?
(2)已知三角形中的哪些元素可以利用正弦定理解三角形?
①已知三角形中的任意两个角及一条边
②已知三角形中的任意两条边及其中一条边的对角
8、课堂小结
(1)本节课学习了正弦定理及正弦定理的证明方法,体现了平面向量在解决几何问题中的工具性
(2)适合用正弦定理解三角形的类型
七、板书设计
八、教学反思《正弦定理》第一节主要讲解了定理的引入、定理的证明以及定理的简单应用,课本通过三角形全等来探究不同三角形中边与角的关系,先以直角三角形为例,从特殊到一般,猜想出定理的内容,并加以证明,在证明中以学生熟悉的平面几何知识入手,很容易想到等高法、外接圆法的证明,而本节课的难点就是如何引导学生利用平面向量证明正弦定理,学生从熟悉的平面几何方法跳跃到平面向量方法难度很大,因此需要老师时不时地进行引导,我先从分析解三角形需要研究三角形的边角,平面向量需要研究向量的模、方向、运算,帮助学生建立三角形与平面向量的关系,找到二者之间的契合点,再通过三角形由三条边形成的向量中,向量的模就是三角形的边长,向量的夹角与三角形的内角有关,引领学生将余弦定理的向量证明方法回顾了一下,使学生体会到利用向量解决平面几何问题带来了极大的方便,不用再去寻找极其复杂多变的辅助线做法,进而引导学生尝试讨论利用余弦定理的证明方法证明正弦定理,在探究过程中学生们会发现向量夹角的余弦与三角形内角之间需要一个连接的桥梁,就是诱导公式,进而通过与三角形的内角互余的向量夹角的构造,使学生找到了向量数量积与三角形边角的关系,进而将证明三角形的边角关系转化为证明向量数量积间的关系,从而得到证明在教学中,和同学们共同探讨,发现问题、找到陌生领域与熟悉领域知识的衔接转换,使通学生深刻体会向量法在解决平面几何问题中强大的工具性,给同学们耳目一新的感觉,这也突出了本节课的重点就是掌握用向量法解决平面几何问题,在探究过程中,不断地和学生发生思维上的碰撞,激发学生对探究数学问题的热情,增强学生对数学中未知领域探索的好奇欲望,增加学生学习数学的动力,最后通过例题,让学生体会如何运用正弦定理来解决问题,整节课的安排充实,达到了预期的效果学生的思维过程也是需要长时间培养的,学生在对向量研究平面几何问题掌握的不是很透彻,所以课堂氛围不是很活跃,我也将在课堂中设计一些新颖的小环节来调节学生的课堂活跃度,在今后的学习工作中我将继续努力,不断完善自我,使自己更进一步正弦定理
一、定义a_b_csinAsinBsinC
二、证明
1、几何法
2、向量法例题讲解例1例2。