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习题五.设个体域D={abc}在D中消去公式Vx尸%AhGy的量词甲乙用了不同的演算过程甲的演算过程如下V%尸⑴A于GyoVxFxAGaVG®vGco尸3AGqVGbvGcaFbaGqvGbvGcaFcaGavGbvGc=FaaFbaFcaGqvGbvGc乙的演算过程如下VxFxA3yGy=VxFx△寺GyoFaaFbaFcaGqvGbvGc显然,乙的演算过程简单,试指出乙在演算过程中的关键步骤解乙在演算中的关键步骤是,在演算开始就利用量词辖域收缩与扩张等值式,将量词的辖域缩小,因而演算简单.设个体域D={abc}消去下列各式的量词⑴V妇yFxAGy2Vx3X^xvGy⑶VxFxtVyGy4V4尸%yf方心⑴解F6ZaFbAFcaGvGbvGcFtzaFbaFcvGaaGbaGcFaaFbaFcTG⑷aGbaGcF«yvFbyvFcyTGavGbvGc在124中均将量词的辖域缩小,所以演算结果都比较简单.设个体域D={12}请给出两种不同的解释人和八,使得下面公式在乙下都是真命题,而在下都是假命题Vx尸xfGx3xFxaGx7BxGx
21.在自然推理系统中,构造下面推理的证明没有白色的乌鸦,北京鸭都是白色的因此,北京鸭都不是乌鸦设Fx:x是乌鸦,Gx x是北京鸭Hx:x是白色的前提「mxFx/\HxVxGx-x结论X/xGx-「Fx证明1-axFx/\x前提引入Vx^FxaHx置换原则Dx「Fxv「〃x置换原则Vx^//x^^FxHyfy\/xGx-xGyfyGy——iFyVXGx-iFx.在自然推理系统F中,构造下面推理的证明⑴偶数都能被2整除6是偶数所以6能被2整除⑵凡大学生都是勤奋的王晓山不勤奋,所以王晓山不是大学生1设Fx:x为偶数,Gx x能被2整除前提X/xFx-GxF6结论G6证明1VFxGx前提引入23假言推理2设Fx:x是大学生,Gx x是勤奋的,a王晓山前提VxFxTGx-1Ga结论「Fa证明1V%FxGx前提引入2方a-Ga1UI3「Ga前提引入4iFa23据取式.在自然推理系统F中,证明下面推理1每个有理数都是实数有的有理数是整数因此,有的实数是整数92有理数,无理数都是实数虚数不是实数因此,虚数既不是有理数也不是无理数1设Fx:x是有理数Gx x实数Hx:x是整数前提X/xFx-Gx3xFxaHx结论3xGxaHx2设Fx:x是有理数,Gx x是无理数,Hx:x是实数,Ix:x是虚数前提VxFxvGxfHx\/x/xT-iHx结论Vx/x-iFxaGx证明1「Hx前提引入Iy—」Hy1UIVxFxvGxTx前提引入FyvGyfHy3UI「HyT「Fya「Gy置换/yf「FyA[Gy25假言三段论VxZxT」Fxa「GxUG
24.在自然推理系统F中,构造下面推理的证明每个喜欢不行的人都不喜欢骑自行车每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车有的人不喜欢乘汽车,所以有的人不喜欢步行个体域为人类集合设Fx:x喜欢步行,Gx x喜欢骑自行车,Hx:x喜欢乘汽车前提X/xFx-GxVxGxv//x3^x//x结论3ixFxiHcxGxvHxGcvHcGcX/xFx-「GxFc-「Gc8「Fc3x—iFx
25.在自然推理系统F中,构造下列推理的证明个体域为人类集合每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功王大海是科学工作者,并且是聪明的,所以王大海在他的事业中将获得成功设Fx:x是科学工作者,Gx x是刻苦钻研的,Hx:x是聪明的,Ix:x在事业中获得成功前提VxFxGxVxGxaHxIxa:王大海,FaHa结论1a2\/xFx-Gx前提引入6VxGxaHxIIx前提引入GaaHa1aGaaHa1a解解释II为个体为实数集合RFx x为自然数,Gx x为整数在II下,1为自然数都是整数,2为存在整数为自然数他们都是真命题解释12为个体域仍为实数集RFx x是无理数,Gx x能表示成分数,在12下,1为无理数都能表示成分数,2为存在能表示成分数的无理数,他们都是假命题.给定公式A=3xFx—VxFx1在解释,中,个体域尸{a}证明公式A在人下的真值为
1.2在解释八中,个体域产{%出,,〃}2A在人下的真值还一定是1吗?为什么?解1在II下,BxFxfVxFx=FdfFa=—iF6ZvFa=12在12下3xFxTVxFx尸qvjFQv…vFanf/q△尸2为可满足式,设Fx x为奇数,%=»=12・・.凡几之2此时,蕴涵式前件为真,后件为假,故蕴含式为假,若令Fx;x为整数,则蕴含式前后件均为真,所以2中公式在12下为可满足式.给定解释/如下a个体域D={34};7%为7⑶=474=3;Fxy为733=F44=0F34=F43=
1.试求下列公式在/下的真值⑴V%才尸%y2*VyF%y3V%VyxyTF/x/y解1\/x3yFxyVxF^3vFM=F33vF34aF43vF44o1ol=3xFx93aFx4=F33aF34vF43aF44oO3oVxFx3tF/x/3aFx4-尸/%/«o*33fF/3/3a134-F/3/4aF43TF/4/3aF44fF/4/4o
1.甲使用量词辖域收缩与扩张等值式进行如下演算V%尸⑺-G%yo3xFxfG羽y乙说甲错了,乙说的对吗?为什么?解乙说的对,甲错了,全称量词V的指导变元X辖域为Gxy其中Fx与Gxy都是x的约束变元,因而不能讲量词的辖域变小.请指出下面等值运算的两处错误「大Vy尸九aGyTHxyoV2y厂%aGytHxyoV%子仍%aGyfHxy解演算的第一步,应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定连接词」,演算的第二步,在原错的基础上又用错了等值式b%aGyfy和FxaGyfHxy不等值.在一阶逻辑中将下列命题符号化,要求用两种不同的等值形式1没有小于负数的正数2相等的两个角未必都是对顶角解-n3xFxaGxoVxGx-iFx其中Fx x小于负数Gx x是正数—i\/x\/yjFxaFyaHxyT£xyoaFyaHxya—iLxy其中Fx x是角,Hxy x=yLxy x和y是对顶角.设个体域D为实数集合,命题“有的实数既是有理数又是无理数”,这显然是个假命题可是某人却说这是真命题,其理由如下设Fx x是有理数,Gx x是无理数Hr尸xGGx都是真命题于是3xFxaBxGxo3xFxaGx由于土/xaHxGx是真命题,故土尸x/\Gx也是真命题,即有的实数是有理数,也是无理数这个人的结论对吗?为什么?解存在量词对△无分配律.在求前束范式时有人说「3x/xAG%y已是前束范式,理由是量词已在公式的前面,他说的对吗?为什么?解在前束范式中,否定联结词不能在量词前面出现.有人说无法求公式VXFxtGxT*Gxy的前束范式,因为公式中的两个量词的指导变元相同他的理由对吗?为什么?换名规则可以使两个指导变元不相同.求下列各式的前束范式VxFx—VyGxyVxFx9y-ByGx9y9z\fxFx.ycyTGxix2T0々”入2f3x3Ljc2x33x1Fxi9x2FXj—3x2Gx1x2解13xVyFxGzyV疝,尸羽G%Zz3也Sx2Vx3Vx4FXjyTGx2yaGx3y-尸%y4犯V%p3砥弘TG%々%-以々,为5肛上2尸几芍f尸%1f-iGQ]%.将下列命题符号化,要求符号化的公式权威前束范式1有点火车比有的汽车跑的快2有的火车比所有的汽车跑的快3说有的火车比所有汽车跑得快是不对的4说有的飞机比有的汽车慢也是不对的解BxByFxaGyay其中Fx x是汽车Gy:y是火车Hxy x比y跑得快Bx\/yFxaGyHxj其中Fx x是火车Gy:y是汽车Hxy x比y跑得快3x3XFxaG^A-iHx
9.y其中Fx x是火车Gy:y是汽车Hxy x比y跑得快VxVjFxaGyy其中Fx x是飞机Gy:y是汽车Hxy x比y跑得慢.在自然推理系统F中,指出下面各证明序列中的错误1
①尸X-土心前提引入
②尸⑹-Gc
①EI规则2
①主厂%—寺Gy前提引入
②尸⑷一月S
①EI规则3
①尸y-Gy前提引入
②★xtGx
①EG规则4DFaaFb前提引入
②3xFxaG
①EG规则5
①/cfGc前提引入
②X/xFxtGx
①UG规则解1对方%—王G幻不能使用EI规则,它不是前束范式,首先化成前束范式方%3玉:Gxo大by-Gx因为量词辖域byfGx中,除了x还有自由出现的y所以不能用EI规则2对上%%-于Gy也应该先化成前束范式才能消去量词,其前束范式为V%力尸幻-Gy要消去量词,既要用UI规则,又要用EI规则3这里Ay=FyfGy满足要求4这里,使Fa为真的a不一定使Ga为真,同样的,使Gb为真的b不一定使Fb为真5这里,c为个体常项,不能对Fc-Gc引入全称量词
15.在自然推理系统F中,构造下面推理的证明:1前提土方xf\/ybyvGyfRy*bx结论3x7x2前提DxbxfG〃/\Rx王/x结论3xFxa7x3前提VxFxvGx-n3xGx结论3xFx4前提\/xbxvGxDx「Gxv「RxX/xRx结论3xFx1证明13xFx前提引入23xFxtDy方yvGytRy前提引入3心byvGy-Ry12假言推理4Fc1EI5FcvGcfRc3UI7Rc56假言推理7EGVxv//x3x^FxVxFafGafGaIyHa「AVVxFxGaaRxVxGaaHat1a前提引入Fc1EI9VxFx.找一个解释I在I下,使得VxFxTVxGx为真而使得VxFx-VGx为假,从而说明V^F^fVxGxwVxbxTVGx解取个体域为自然数集合NFx:x为奇数,Gx:x为偶数显然在以上解释下VxFxtVxGx为真而VxFx-Gx为假.给定推理如下前提X/MHx-[GxX/xHx-G结论Vx”x-「b幻有些人给出的证明如下证明HyX/xx-Gx”yfGyGyDx尸xf「GQ
⑦方yf「Gy
⑧「尸yVxMx并且说,由附加前提证明法可知,推理正确,请指出以上证明的错误解根据16题可知两公式并不等价.给出上题17推理的正确证明注意,不能使用附加前提证明法证明1VxFx-^Gx前提引入.在自然推理系统F中,构造下列推理的证明:前提*bx-XZxGx结论VxFx^Gx证明1BxFx-VxGx前提引入3yFy-DxGx换名规则3yVxFxGx化简VxFx-^Gx3EI
20.在自然推理系统F中,构造下列推理的证明可以使用附加前提证明法:1前提Vxb⑴-G结论VxFx-VxGx2前提VxFxvGx结论-iXZxbx-IrGx证明
1.1VxFx附加前提引入2Fy1UI3VxFx-Gx前提引入byfGyGyVxGx21—iVxFxBx-iFx-iFcVxFxvGx前提引入。