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单元质量评估圆锥曲线(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).已知椭圆的+吃1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3则P到另一焦点的距2516离为()A.2B.3C.5D.7椭圆三+上=1的一个焦点为
(01)则m的值为()m23-mA.1B.匚士生2C.-2或1D.以上均不对(2013•浏阳高二检测)如图,共顶点的椭圆
①,
②与双曲线
③④的离心率分别为ebe2e3e.b其大小关系为()A.eie2eie3B.eie2e3eiC.62^61^63^64D.e2〈eKe.i〈e3(2012•福建高考)已知双曲线兰-9口的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合4则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.V5B.4V2C.3D.5(2013•大理高二检测)若直线/过点
(30)与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则这样的直线有()所以2a二|AF|+|AF|二6+8=
14.故离心率e——a2a7答案:三7【拓展提升】抛物线定义的应用“给焦点,看准线;给准线,看焦点”,充分显示了抛物线中的解题规律,即抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.
①焦半径公式:|PF|=xo+B(以y2=2px(p0)为例);2
②过焦点弦长(以y2=2px(p0)为例):|AB|=xa+xb+p.
16.【解题指南】采用数形结合法.【解析】当x20时,方程片-但=1化为片-日=1;当x0时,巴幽=1化为匕立
194949494.J曲线片-汹二1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),94直线尸x+3与曲线广-啊=1的公共点的个数为
3.94答案3【拓展提升】直线与圆锥曲线位置的判断判断直线与圆锥曲线间的位置关系,一般用数形结合法.当直线的斜率不存在或为0时,用图形易判定直线与圆锥曲线间的关系;当直线的斜率存在且不为0时,可联立方程用判别式确定方程根的个数,进而确定直线与圆锥曲线间的关系,做题时要特别注意下面几点
(1)若直线过椭圆内一点,则直线与椭圆一定相交.⑵直线与双曲线相交有两种情形,一是两交点在双曲线的一支上,二是两交点分居两支.直线与双曲线只有一个公共点也有两种情形,一是直线与双曲线相切(对应判别式为0)二是直线与双曲线相交只有一个交点(对应方程二次项系数为0).⑶直线与抛物线只有一个公共点,也有两种情形,一是直线与抛物线相交,(此时直线与对称轴平行或重合),二是直线与抛物线相切(对应判别式为0).
17.【解析】设双曲线巴电1的焦距为25离心率为eb412则有:皆4+12=16Ci=
4..・・双曲线的焦点为E(0-4)F
(04)且e尸玉
2.2・•椭圆的焦点在x轴上,设所求椭圆方程为(ab0)其离心率为e焦距为2c・.e二以2M即匚三
①55a5又E(0「4)F2
(04)为其顶点,・・・b二c尸4
②又・・・a2=b2+c2
③由
①②③可得才二259二16•所求椭圆方程为W片二
1.
251618.【解析】当k0时,曲线上胃=1为焦点在y轴上的双曲线;4-工当k二0时,曲线2y2-8=0为两条平行于x轴的直线y二2或y=-2;当0k2叱曲线看+以1为焦点在x轴上的椭圆;-4当k=2时,曲线x2+y2=4为一个圆;当k2时,曲线e十联1为焦点在y轴上的椭圆.4k
19.【解题指南】第1问,利用椭圆中abc与e的关系即可求出椭圆方程;第⑵问,4AMN的面积等于x轴上下两个小三角形面积之和.【解析】1a=2e=-=—c=V2b=V2a2椭圆c-+^=
1.42y=kx-
1.⑵设MxiyNX2y2则由「2y2d—l—=Lk42消y得1+2kx2-4k2x+2k2-4=
0.•・•直线kxT过椭圆内点10・•・A0恒成立由根与系数的关系得xi+x2=-^rX1X2二型三,l+2k2l+2k2Saamn=X1X|yi-y21=—X|kxi-kx2122二四衍寸正迎2Vk1122l+2k23即7k4-2k2-5=0M#k=±
1.【变式备选】2012•安徽高考如图,EFz分别是椭圆C J群1ab0的左、右焦点A是椭圆C的顶点,Ba2b2是直线AF2与椭圆C的另一个交点,ZF1AF2=60°.1求椭圆C的离心率.⑵已知aAFiB的面积为4073求ab的值.【解题指南】1由NEAF2=60°Ua=2c=e二工a2⑵根据椭圆的定义设IBF2I=m则|BF/=2a-m由余弦定理求出m结合三角形的面积公式即可求出ab的值.【角箪析】1NFiAF2=60°0a=2c=e二J士a22设|BF2|=mm0则|BFJ=2a-m在△BFR中,iBFiHlBFzr+lFEf-ZlBFzlX|FR|Xcos120°即2a-m2二
22.m+a+am/.m=-a.5△AFiB的面积S-X|F2F11X|AB|Xsin60°O2-XaXa+-aX乌40日0a:10c=5252b=5V
3.
20.【解析】1因为椭圆E:J¥=1ab0过M2eN泥1两点,a2b2所以11+墨—解得卜一:所以卜=椭圆E的方程为七江
1.9+2=1*lb=484IMb2\b24⑵设Ax1yyiBx2y2由题意得号=.,k=V
5.Vl+k23y=V5x+4」「联立力v2化简得11x2+16v亏x+24=0士+工=LXfl4有X1+X2=--V5XiX2=—.iiii*/XiX2+yiy2=XiX2+V5xi+4V5x2+4=6xix2+4v5xi+x2+16=0/.0A±OB.
21.【解题指南】1根据题意可知c=1b=1从而可解出a的值,进而得椭圆G的方程.⑵由题意得直线的斜率一定存在且不为0设出直线方程,分别与椭圆方程和抛物线方程联立,根据直线与椭圆和抛物线相切时满足判别式等于0可求得直线/的方程.【解析】1由题意得c=1b=1aRb2+c二夜椭圆G的方程为E+y=
1.2⑵由题意得直线的斜率一定存在且不为0设直线/的方程为y=kx+m因为椭圆G的方程为E+y2=i2/3=—〃2/.二+J=].消去y得1+2k2x2+4kmx+2m2-2=02・・♦直线/与椭圆G相切,・・・A=16k2m2-41+2k22m-2=0即2k2-m2+1=0
①直线/与抛物线C2:y2=4x相切,则.1n消去V得k2x2+2km-4x+m2=0J△二2km-42-4km2=0即km=1由
①②解得k=—m二或k=--m=-V
2.
2222.【解题指南】1可由椭圆的定义及简单的几何性质,易知椭圆的标准方程.⑵由于AB两点任意,因此需要考虑直线AB的斜率是否存在,斜率不存在时,设出AB两点坐标,由已知条件得出P点坐标代入椭圆方程即可求得t的值;斜率存在时,可设直线的方程,然后与椭圆联立,根据条件得出t的关系式.v2v2【解析】1设椭圆C的方程为三+J=1ab0a2b2a2=b2+c2由题意知人二吏解得a=b=
1.卜2,12b=2因此,椭圆C的方程为+y2=
1.⑵当ABJLx轴时,设Ax0y0Bx0-y0\12xoyoI=y¥+yiXf由OP^tOE=tXo0—txo0得Ptx0又P在椭圆上,所以与+2=1,所以t三与4或之所以12或7(舍去负值).2Xn33当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m显然m去0代入椭圆方程得1+2k2x2+4kmx+2m2-1=0设AxayABxByB则xA+xB=—xAxB=2ml+2k2l+2k2由三角形面积公式知|xa-Xb|二吏,24所以,|xa-Xb|二汽=Xa+Xb2-4XaXb=2即言察之~塔U二白,整理2|m|2m2l+2k22l+2k22m2得,1+2k2-见空巴四?
①16m2rXa+xr2kmm”Jt2kmtmt\又Xe二二一——yE=kxE+m=——所以,OP=tOE=-——2l+2kz,yl+2kz,\l+2k2l+2k2/,\l+2k2,l+2k2P_2kmt2将其代入椭圆方程得匚至包+…==12\l+2k2/整理可得,1+2k=m2t2联立
①②,消去1+2k约分掉m2移项整理得3t476t2+16=0解之可得t2=4或/均能使(*)式的△03所以t=2或室(舍去负值).3综上t=2或言.关闭Word文档返回原板块
6.已知两点M(-20)N
(20)点P满足PM•PN=12则点P的轨迹方程为()A.^+y-lB.x2+y2=16C.y2-x2=8D.x2+y2=8抛物线y=x2的一组斜率为2的平行弦中点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.射线(不含端点)(2012•新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点焦点在x轴上C与抛物线y=16x的准线交于AB两点,从13|二4日则C的实轴长为()A.V2B.272C.4D.8(2013•天津高考)已知双曲线W=l(a0b0)的两条渐近线与抛物线azbzy=2px(p0)的准线分别交于AB两点0为坐标原点.若双曲线的离心率为2△A0B的面积为则P=()A.1B.-C.2D.
3210.已知抛物线y2=4px(p0)与双曲线2*1(a0b0)有一个相同的焦点F点Aa2bz是两曲线的交点且AF±x轴则双曲线的离心率为()A.如22C.V3+1D.V2+
111.(2012•山东高考)已知椭圆C W+W=l(ab0)的离心率为上双曲线x2-y2=la2bz2的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16则椭圆C的方程为()b.W4=i82126C.W^lD.W^l
16420512.椭圆[+[=l(ab0)的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b;4bJ则该椭a2b2圆的离心率e的取值范围是()A.[A立]B.[吏亘]2232C.[A-]D.[立立]2332
二、填空题(本大题共4小题每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)(2012•天津高考)已知双曲线3J《=l(a0b0)与双曲线C2兰-金1有相a2b2416同的渐近线且G的右焦点为F(V50)则a=b二.(2013•南昌高二检测)若椭圆[+白1过抛物线yWx的焦点,且与双曲线a2b2x2-y2=l有相同的焦点则该椭圆的方程为.(2013•辽宁高考)已知椭圆C:今言1(心b0)的左焦点为FC与过原点的直a*b2线相交于AB两点,连接AFBF.若|AB|=10|AF|=6cosNABFW,则C的离心率e=.(2013•安阳高二检测)直线尸x+3与曲线巴切=1交点的个数为.94
三、解答题(本大题共6小题,共70分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(10分)已知椭圆的顶点与双llh线^-江二1的焦点重合它们的离心率之和为三4125若椭圆的焦点在x轴上求椭圆的方程.(12分)(2013•汝阳高二检测)k代表实数,讨论方程kx2+2y2-8=0所表示的曲线.(12分)(2012•北京高考)已知椭圆C4+S=l(ab0)的一个顶点为A
(20)a2b2离心率为型直线y二k(x-l)与椭圆C交于不同的两点MN.21求椭圆C的方程.2当AAMN的面积为理时求k的值.212分2013•嘉峪关高二检测设椭圆E:JS=lab0过卜120azbzN巡1两点,0为坐标原点.1求椭圆E的方程.⑵若直线y=kx+4k0与圆x2+y2=相切,并且与椭圆E相交于AB两点,求证OAJ_OB.12分2012•广东高考在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆a2b2ab0的左焦点为F.-10且点P01在C±.1求椭圆G的方程.⑵设直线I同时与椭圆G和抛物线C2:y2=4x相切求直线/的方程.12分2013•山东高考在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点0焦点在x轴上短轴长为2离心率为].1求椭圆C的方程.2AB为椭圆C上满足△AOB的面积为彳的任意两点E为线段AB的中点射线0E交椭圆C于点P设国二求实数t的值.答案解析.【解析】选D.根据定义可知|PF』+|PF2|=2a=
10.P到另一焦点的距离是10-3=
7..【解析】选C.・•椭圆一个焦点是01即m2+m-2-0解得m-1或m=-
2.V3-mm20Am=1或m二一2均符合题意.【误区警示】解答本题容易习惯性地认为m0而把m二-2舍去.应该代入验证,确保不漏解.3•【解析】选A.由椭圆、双曲线的离心率的定义知,e3e4e1+ooeie2e01再根据椭圆的扁平程度知e2ei而双曲线的开口越大离心率就越大,・・・e3e4故选A.
4.【解题指南】利用抛物线的标准形式求出焦点.对于双曲线的标准方程,只需注意到c最大,同时也满足一个平方关系式即可.同时要熟知渐近线的方程,焦点在x轴上时,方程是尸土,.【解析】选A.y2=12x的焦点为30由题意知4+b2=9b2=5取双曲线的一条渐近线为尸吏x即d5x-2y=0所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为d二些2v5+4【变式备选】2012•山东高考已知双曲线G a0b0的离心率为
2.a2b2若抛物线C2x=2pyp0的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2则抛物线C2的方程为A2_8\/3D2_16百A.xyB.xy22C.x2=8yD.x2=16y【解题指南】利用离心率求出渐近线方程,而抛物线焦点到两条渐近线的距离相等,再利用点到直线的距离公式求出p.【解析】选D.因为双曲线G:a0b0的离心率为2所以e二J2a2b2a所以c=2a所以c2=a2+b2=2a2bra双曲线的渐近线为y二士-x即y=±V3x.a抛物线C2:x2=2pyp0的焦点02到双曲线G的渐近线y=V3x的距离为2|Eid=_2所以p=8所以抛物线C2的方程为xJ16y.Ja2+t
25.【解析】选C.因点30恰是双曲线4x-9y2=36的右顶点,所以过30与双曲线只有一个公共点的直线有3条,其中一条是切线,另外两条是平行于渐近线的直线.【举一反三】若把本题中点30改为32其他条件不变,这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点⑶2在双曲线的一条渐近线上,且右顶点为30所以过该点与双曲线只有一个公共点的直线只有两条,一条为x=3另一条为y=--x.
36.【解题指南】根据曲线方程及平面向量的定义,直接求轨迹方程.【解析】选B.设Pxy・・・晶二-2-x-yPN=2-x-y.由晶•PN=12得x2-4+y2=12即x2+y2=
16.【举一反三】本题中,若把血•PN=12改为|向|二2|乐点P的轨迹如何?[解析]令Pxy则Jx+2+yZ2Jx—2尸+寸整理得谭r+y2彳・•点P的轨迹是以注0为圆心,以号为半径的圆.
33.【解析】选D.设弦的中点为xy且两端点设为XiyX2y,,则X1+X2=2x【一题多解】设直线的方程为y=2x+b且弦的中点为xyy=2x+b八,27彳子x-2x-b=0Xi+x2-
2.ly=x2即X=x】+X2=[故轨迹为直线x=1在抛物线内的部分.
2.【解题指南】可先设出等轴双曲线C的方程,然后利用|AB|的长及抛物线的准线方程,得到AB两点的坐标,代入所设的曲线C方程,可求得曲线C的方程,最后求得实轴长.【解析】选C.设双曲线的方程为当三二1抛物线的准线为x=-4且|AB|二4禽,故a2a2可得A-42V3B-4-2V3#^A坐标代入双曲线方程得a=4故a=2实轴长为
4..【解析】选C.如图,AB两点是双曲线的两条渐近线与抛、3/物线y2=2pxp0的准线的交点,其坐标分另为A5第,BQ]一》故aAOB的面积为詈、以又因为双曲线的离心率ZV为2即c=2a由b2=c2-a2b=VJa所以p=
2..【解题指南】利用点A在两条曲线上,找出A的横纵坐标之间的关系建立等式求出离心率.【解析】选D.由条件可知,点A的坐标可以为p2p又A在双曲线上,坐标又可表示为c-.a故a2c整理得eNe-l=0a解得e二证+
1.【变式备选】2012•成都高二检测设圆锥曲线「的两个焦点分别为EE若曲线「上存在点P满足|PF/|FR||PF21=432则曲线「的离心率等于A」或三B.三或2223C」或2D.2或三232【解题指南]根据|PF』|FE|:|PF2|=43:2设出|PF|FE||PFz|然后按曲线「为椭圆或者双曲线,利用定义求离心率.【解析】选A.・・・|PF』IFF2I iPFzl32设|PF』=4k|FE|=3k|PF2|=2k其中IFRI=2c=3kAc=-.若圆锥曲线「为椭圆2则IPF』+1PF|二2a二6krak[.*.a=3k.*.e-a3k2若圆锥曲线r为双曲线则IPF』-1PFz|二2a二2k为/.a=k/.e的取值为2或三.ak
222.【解题指南】利用椭圆的对称性及双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x找出双曲线x2-y2=1的渐近线y二±x与椭圆C的四个交点的特点,然后加上条件离心率为吏,即可求得椭圆C的方程.2【解析】选D.由双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x以及椭圆的对称性可知以渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,因为四边形面积为16所以边长为4所以椭圆过点
(22).所以椭圆c的方程哈中..【解题指南】利用基本不等式求出S的最值,然后通过解不等式求得e的范围.【解析】选B.设椭圆上一点P坐标为Px°y°则以P为一个顶点的内接矩形面积S=41XoyoI又♦.乌邑a2b2昌+日..S=4|x0||y0|=4ab•卢||也|W4ab•^-^=2ab由3bW2abW4b1ab2知衿”4斤守《唐算.【解题指南】根据双曲线的几何性质列式求解.【解析】由题意可得解得a=1b=
2.a2+b2=5答案
12.【解析】双曲线x2-y2=1的焦点为-V20V20由条件知a2f2=2
①,又•・抛物线的焦点为20・•由条件知a=2Aa2=4b2=2故椭圆方程为£+匹
1.42答案:已以
14215.【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB「+|BF|2-2|AB||BF|cosZABF又|AB|二10|AF|二6cosNABF=g解得|BF|二
8.在三角形ABF中,|AB|2=12=82+62=|BF|2+|AF|2故三角形ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F连接AFBF根据椭圆的对称性可得四边形AFBF为矩形,则其对角线|FF|二|AB|=10且|BF|二|AF|二8即焦距2c=
10.又据椭圆的定义得|AF|+|AF”=2a。