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专题11导数的三板斧之分而治之分久必合,合久必分,某些题你用单个函数求导做,一脚油门踩到底,总会有各种隐零点代换,总会被各种复杂的分类讨论弄得浑身不自在分而治之,分开来看,豁然开朗,既然风景这边独好,为什么我们不在这里多多停留呢?好的东西总是缺乏说明书,那么分而治之的说明书,它能否再给你打开一扇窗?第一讲分而治之的原理.若Fx0对xw/恒成立,且尸%=/x-gx我们可以转化为/xgx通过分别求出两个函数的最值,当/XmingXmax时一定成立,我们称之为高人一等,如图HTT所示;或者f⑶*=/2gXa=g*2,的力巧时一定成立,我们称之为错位尸S,如图所示•通常我们将/幻叫做上函数,g叫做下函数..若尸xNO对恒成立,且尸x=/x-gx我们可以转化为/xNgx通过分别求出两个函数的最值,当/XminNgXmax,且/“min=/玉=g*max=网与时一定成立,我们称之为亲密接触如图11T-3所示.3若含参数•的函数2力20对xe[与+00恒成立,且““=°构造/,在这种情况下恒成立且/“min=/Xo=,〃,只需为agX单调递减;或者=〃幻单调递增,且r3°=只需〃ag@单调递减,这也是我们通常讲到的端点效应洛必达法则;此法叫做天各一方,如图所示,在端点效应中推导矛盾区间时往往需要切线放缩.第二讲高考中的分而治之【例I】2019*新课标I已知函数/x=2sinx-xcosx-xfx为/x的导数.1证明/《外在区间0田存在唯一零点;2若rw[0泪时/xax求a的取值范围.【例2】2018•新课标I已知函数/x=ae-lnx—
1.2023-临沂期末已知函数/⑶=21nx+l+sin++l函数gx=以一1一切n.rabeRab^O1讨论gx的单调性;2证明当xNO时,/x3x+l.3证明:当x-l时/xx2+2x+2esinx.afx2023•凉山模拟已知函数/=—e=
2.71828…为自然对数的底数.1若々#0试讨论/x的单调性;2对任意xe0+8均有f+1/一心3一/一如之0求的取值范围.2023-九江模拟已知函数/x=alnx+xaeR.1讨论/的单调性;⑵若对Vxe0+8/X-,-如<0恒成立,求的取值范围.2023-太原期末已知函数/x=e-or-lacR.1当>0时,求函数/*的单调区间;2若gx=elnx-ar+e-l求证当x>0时,fxgx.2023-长沙模拟已知函数/x=l+lnx-o1讨论函数的单调区间;92证明xfx—ex+x-av
3.2023•黔东模拟已知函数/x=rlnx.1求/5的单调区间;2证明inx-——ex4」2023•益阳期末已知/x=4+上三一根mmeR.X1讨论〃幻的单调区间;2当0〃与/时,证明一叶+1—
6.2023•顺德期末已知函数/乃二巾1-不产+奴.1讨论/X的单调性2若.=1求证当x0时,fxe2x-x2-
2.2023・辽宁期末已知fx=e-〃lnx-a其中常数a
0.1若/*20恒成立,求实数a的取值范围;2若函数y=/x有两个零点用x20x[x2求证一西1〈工2・2023•毫州期末己知函数/幻=+4,-
1.1证明/*存在唯一零点;2若xNO时,f{x}2cix求a的取值范围.2023・湖北期末已知/x=^--ax-\+\nx-\aeR其中e为自然对数的底数.e1设gx=/%,求gx的单调区间;2若xNl时,/320恒成立,求实数〃的取值范围.1设x=2是/x的极值点,求实数的值,并求/x的单调区间;2证明当〃之^!■时、/x
0.e【例3】2017•新课标H设函数/幻=1-凸I讨论/幻的单调性;2当xNO时,/xor+l求的取值范围.注意此题得出答案简单,都知道端点效应,关键就在于找矛盾区间的证明,这里涉及了切线放缩和找点知识,我们在后续章节还会介绍.【例4】2020•全国新高考I卷已知函数/x=aeT—Inx+lna.1当”=e时,求曲线y=/x在点1,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;2若/xNl求“的取值范围.【例5】2016・山东已知/x=ax—lnx+丝」,awR.x11讨论/x的单调性2当=1时,证明fa〃工+万对于任意的2]成立.【例6】2015-新课标I设函数/幻=口一41门.1讨论了%的导函数广x零点的个数;2证明当〃0时,/xN2a+aln—.a【例7】2014•薪课标I设函数/“=〃/lnx+^^曲线,=/5在点1/0处得切线方程为xy=x-l+
2.1求a和人的值;2证明/x
1.第三讲分而治之上下函数选取技巧M秒杀攀番分而治之函数选取技巧不含参的不等式证明,一般不能选取直上直下的函数,上函数一般选取至,—x-Inxxlnx这一xInx系列函数的同构函数,他们都是高阶比低阶的函数,有一个极小值;下函数一般为业土,上,皿,必竺xexxex这一些列的同构函数,这些函数都是低阶比高阶,有一个极大值;一般上函数选取范围优先,所以是否分而治之,上函数最关键.含参数的函数,先看参数是否能够参与同构,这样往往会构成亲密接触型的分而治之;参数在参与端点效应的时候,就要在端点进行一边递增一边递减的天各一方构造.【例8】223・雅安模拟设函数/*=x-alnx其中e为自然对数的底数.1若a=l求/x的单调区间;2若gx=/x-x+靖,0ae求证gx无零点.[例9]2023*泰安模拟已知函数fx=x-mInxm
0.1若函数/x存在极小值点,求掰的取值范围;2当m=0时,证明:fxex-\.【例10】2023•济南模拟已知函数/*=上也丝.X1求函数/的极值;2若求证aexl+-l+ln.v.x【例11】2023・常德模拟已知函数/x=lnx—o¥+lae/.1讨论函数/x的单调性;2若对任意的40/x0恒成立,求实数a的取值范围3求证当x0时,ex-xlnx+x
0.【例12]2021•山东模拟已知函数/x=〃alnx-l加工
0.若=且关于“的不等式e/xKgx在0+8上恒成立,其中c是自然对数的底数,求实数5的取值范围.【例13】2023•越秀期中设/x=ai+hdnx/幻在x=e处的切线方程是x+,-e=0其中e=
2.718…为自然对数的底数.1求“,〃的值;2证明fx—+x
2.ex【例14】2023•江西模拟已知函数=ex1当a=l时,求/x的极值;⑵设gx=xe7-〃,对任意王/e°+8都有芭源/西-仲8巧成立,求实数a的取值范围.【例15】2023•安庆期末设函数/x=alnx+xgx=ex+x.1讨论函数/幻的单调性;2令人x=/x-gx当a=2时,证明/x〈21n2-
4.【例16]2023-黄山模拟己知曲线/幻=丝1在点1/⑴处的切线斜率为-exe1求r的值并求函数X的极小值;2当xw0乃时,求证exsinx-x+ex~2+1excosx.例
17.2022•广安一诊已知函数x=adnx+x
2.若OvaK]求证fx-sinx+
1.例
18.利哥助力2023高考每日一题6已知xe4,+8若不等式匹一-2eiN0恒成立,e1+Inx求工的最大值为.m例
19.证\nx+xex+—.2e例
20.利哥助力2023高考每日一题40已知函数/x=alnx-/一1aer.若不等式/%«一恒成立,求实数的取值范围.2023*郑州期中已知函数/x=xlnx+4e*有两个极值点,则实数〃的取值范围是2023*雁峰期中已知函/幻=--a]nav-a+a40若关于x的不等式/x0恒成立,则实数的取值范围为2023*路南月考设函数/x=arlnx-at若存在实数“使得/x0恒成立,则,〃的取值范围是A.-oo0JB.
[02]C.2+ooD.-co2(2023-福州期末)已知函数/(x)=x3-2ex2+以-Inx若f(x)>x恒成立,则实数m的取值范围是()919|A.e-Hhl+8B.0»e~-\f1]eeC.^»e2+-+1]D.-ooe2+-]ee2023*内江模拟已知函数/幻=止.x1求函数的单调区间;2xx~2证明对一切xe0+00都有lnx成立.eex(2023*双流模拟)已知函数/)=11一.
(1)讨论/(幻的极值点的个数;
(2)若4=2求证f(x)<
0.2023*绵阳模拟已知函数/x=-口,,acRxw0+
8.1若/存在极小值,求实数〃的取值范围;22若求证fxarlnx-x.2023*山西模拟已知函数fx=ex—olnxaeRa
0.1若=e求/x的单调区间;2证明fxa2-\na.2023•深圳月考已知函数/x=*其中e=
2.718…为自然对数的底数.1求函数/幻在[-5-1]上的最值;2若函数gx=A2—〃lnx求证当aw02e时,函数前x无零点.x+12023・南康月考已知函数/x=xlnx/x为/x的导函数.1令gx=/a-aJ试讨论函数gx的单调区间;2证明fx2ex-
2.2023•郴州模拟已知函数/x=,alnx-6x曲线y=fx在点Lf⑴处的切线方程为y=e-4x-e+
2.1求a人的值;2证明fx+x
20.2023*唐山模拟函数/*=/山一1I求函数,=/3在点1,/⑴处的切线方程;2若m0时有时+4之0成立求m的取值范围.(2023•淮南月考)设函数/(外二2-blnx且/
(1)=1(其中e是自然对数的底数).1若〃=1求/的单调区间;2^0be求证fx
0.
14.2023-辽阳模拟已知函数fx=xlnx.1若函数gx=与求幻的极值;2证明fx+\ex-x
2.3参考数据In2«
0.69»1«3*
1.10»e2«
4.48e2«
7.39。